Question

設(shè)α、β、γ均為銳角，cosα²+cosβ²+cosγ²+2cosαcosβcosγ=1，求證：α+β+γ=π．

Answer 1

考點(diǎn)：三角函數(shù)恒等式的證明

專題：證明題,三角函數(shù)的求值

分析：令 x=cosα，y=cosβ，z=cosγ，則由已知可得一元二次方程f（z）=z²+2xyz+（x²+y²-1）=0，又 x，y，z＞0，可解得z=-xy+

(1-x2)(1-y2)

=cos（π-α-β），即 cos（π-α-β）=cosγ＞0．又π-α-β 屬于（0，π），即可解得：π-α-β=γ，從而得解α+β+γ=π，即可得證．

解答： 證明：令 x=cosα，y=cosβ，z=cosγ，
則 x²+y²+z²+2xyz=1．（1）
又因?yàn)?α，β，γ 是銳角，
所以 x，y，z屬于（0，1）．
由（1）得：f（z）=z²+2xyz+（x²+y²-1）=0．
所以：△=4x²y²-4（x²+y²-1）=4 （1-x²）（1-y²）．
又因?yàn)?1-x²＞0，1-y²＞0，
所以 z₁=-xy+

(1-x2)(1-y2)

，z₂=-xy-

(1-x2)(1-y2)

．
又因?yàn)?x，y，z＞0，
所以 z=-xy+

(1-x2)(1-y2)

=-cosα cosβ+sinα sinβ
=-cos（α+β）
=cos（π-α-β）．
即 cos（π-α-β）=cosγ＞0．
又因?yàn)?π-α-β 屬于（0，π），
所以 π-α-β=γ．
即 α+β+γ=π．得證．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了一元二次方程的解法，考查了三角函數(shù)恒等式的證明，綜合性強(qiáng)，屬于中檔題．