Question

【題目】已知函數.

（1）若在上恒成立，求的取值范圍，并證明：對任意的，都有

（2）設.討論方程實數根的個數

Answer 1

【答案】（1）；證明見解析（2）當時，方程有一個實數解；當時，方程有兩個不同的實數解；當時，方程沒有實數解

【解析】

（1）在上恒成立，分離參數得，只需，設，利用求導求出其最大值為，因此；根據所證明不等式的結構特征，取，在上成立，令，，即可證明不等式；

（2）由，分離參數可得，設，通過求導求出單調區(qū)間，極值最值，以及函數值變化趨勢，即可求出結論.

（1）由可得，

令，則

當時，單調遞增，

當時，單調遞減，

故在處取得極大值，也是最大值，

要使，只需，

故的取值范圍為，

顯然，當時，有，

即不等式在上成立，

令，則有

所以，

即：；

（2）由可得，，

即，令，

則，

當時，單調遞增，

當時，單調遞減，

故在處取得極大值，也是最大值，

又當時，，當時，

所以，當時，方程有一個實數解；

當時，方程有兩個不同的實數解；

當時，方程沒有實數解.