已知函數(shù)f(x)=ln(2+3x)-
3
2
ax2
,在x=
1
3
時(shí)取得極值,若關(guān)于x的方程f(x)=-2x+b在[0,1]上恰有兩個(gè)不同的實(shí)根,求實(shí)數(shù)b的取值范圍.
分析:利用函數(shù)在x=
1
3
時(shí)取得極值,可得函數(shù)解析式,由f(x)=-2x+b知ln(2+3x)-
3
2
x2+2x-b=0
,構(gòu)建函數(shù),利用導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)的單調(diào)性,求出函數(shù)的最值,從而可建立不等式,即可求得實(shí)數(shù)b的取值范圍.
解答:解:∵f′(x)=
3
2+3x
-3ax
,由f′(
1
3
)=0
,得a=1
f(x)=ln(2+3x)-
3
2
x2
(3分)
由f(x)=-2x+b知ln(2+3x)-
3
2
x2+2x-b=0
,(4分)
?(x)=ln(2+3x)-
3
2
x2+2x-b
,則?′(x)=
3
2+3x
-3x+2=
7-9x2
2+3x

當(dāng)x∈[0,
7
3
]
時(shí),?'(x)>0,于是?(x)在[0,
7
3
]
上遞增;當(dāng)x∈[
7
3
,1]
時(shí),?'(x)<0,于是?(x)在[
7
3
,1]
上遞減,而?(
7
3
)>?(0)
,?(
7
3
)>?(1)
(8分)
∴f(x)=-2x+b即?(x)=0在[0,1]上恰有兩個(gè)不同實(shí)根等價(jià)于
?(0)=ln2-b≤0
?(
7
3
)=ln(2+
7
)-
7
6
+
2
7
3
-b>0
?(1)=ln5+
1
2
-b≤0
,(10分)
解得ln5+
1
2
≤b<ln(2+
7
)-
7
6
+
2
7
3
(12分)
點(diǎn)評(píng):本題考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用,考查函數(shù)的單調(diào)性與最值,考查學(xué)生分析解決問題的能力,屬于中檔題.
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相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=
1
3
x3-
3
2
ax2-(a-3)x+b

(1)若函數(shù)f(x)在P(0,f(0))的切線方程為y=5x+1,求實(shí)數(shù)a,b的值:
(2)當(dāng)a<3時(shí),令g(x)=
f′(x)
x
,求y=g(x)在[l,2]上的最大值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=
1
2
x2-alnx
的圖象在點(diǎn)P(2,f(2))處的切線方程為l:y=x+b
(1)求出函數(shù)y=f(x)的表達(dá)式和切線l的方程;
(2)當(dāng)x∈[
1
e
,e]
時(shí)(其中e=2.71828…),不等式f(x)<k恒成立,求實(shí)數(shù)k的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=lnx,g(x)=
12
x2+a
(a為常數(shù)),直線l與函數(shù)f(x)、g(x)的圖象都相切,且l與函數(shù)f(x)的圖象的切點(diǎn)的橫坐標(biāo)為1.
(1)求直線l的方程及a的值;
(2)當(dāng)k>0時(shí),試討論方程f(1+x2)-g(x)=k的解的個(gè)數(shù).

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=
13
x3+x2+ax

(1)討論f(x)的單調(diào)性;
(2)設(shè)f(x)有兩個(gè)極值點(diǎn)x1,x2,若過兩點(diǎn)(x1,f(x1)),(x2,f(x2))的直線l與x軸的交點(diǎn)在曲線y=f(x)上,求a的值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=x3-
32
ax2+b
,a,b為實(shí)數(shù),x∈R,a∈R.
(1)當(dāng)1<a<2時(shí),若f(x)在區(qū)間[-1,1]上的最小值、最大值分別為-2、1,求a、b的值;
(2)在(1)的條件下,求經(jīng)過點(diǎn)P(2,1)且與曲線f(x)相切的直線l的方程;
(3)試討論函數(shù)F(x)=(f′(x)-2x2+4ax+a+1)•ex的極值點(diǎn)的個(gè)數(shù).

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