Processing math: 100%
8.已知函數(shù)f(x)=xlnx-a2x2-x+a(a∈R).
(Ⅰ)當(dāng)a=0時(shí),求f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(Ⅱ)若函數(shù)f(x)在其定義域內(nèi)有兩個(gè)不同的極值點(diǎn).
(�。┣骯的取值范圍;
(ⅱ)設(shè)兩個(gè)極值點(diǎn)分別為x1,x2,證明:x1•x2>e2

分析 (Ⅰ)對(duì)f(x)求導(dǎo),利用導(dǎo)數(shù)來判斷f(x)的圖形單調(diào)性;
(Ⅱ)(i)函數(shù)f(x)在其定義域內(nèi)有兩個(gè)不同的極值點(diǎn)轉(zhuǎn)化為:方程lnx-ax=0在x>0上有兩個(gè)不同根.
(ii)x1,x2分別是方程lnx-ax=0的兩個(gè)根,即lnx1=ax1,lnx2=ax2;不妨設(shè)x1>x2,作差得,lnx1x2=a(x1-x2),即a=lnx1x2x1x2.原不等式x1x2e2等價(jià)于lnx1+lnx22?ax1+x22?lnx1x22x1x2x1+x2

解答 解:(Ⅰ)當(dāng)a=0時(shí),f(x)=xlnx-x.
函數(shù)f(x)的定義域?yàn)閤>0,f'(x)=lnx;
當(dāng)x>1時(shí),f'(x)>0;當(dāng)0<x<1時(shí),f'(x)<0.
所以,f(x)在(0,1)上單調(diào)遞減;在(1,+∞)上單調(diào)遞增.
(Ⅱ) (�。┮李}意,函數(shù)f(x)的定義域?yàn)閤>0,f'(x)=lnx-ax
所以方程f'(x)=0在x>0上有兩個(gè)不同根,即:
方程lnx-ax=0在x>0上有兩個(gè)不同根,轉(zhuǎn)化為:函數(shù)y=lnx與函數(shù)y=ax
的圖象在x>0上有兩個(gè)不同交點(diǎn),如圖.
可見,若令過原點(diǎn)且切于函數(shù)y=lnx圖象的直線斜率為k,只須0<a<k.
令切點(diǎn)A(x0,lnx0),所以k=1x0,又k=lnx0x0,所以1x0=lnx0x0
解得:x0=e,于是k=1e
所以,0<a<1e
(ⅱ)由(i)可知x1,x2分別是方程lnx-ax=0的兩個(gè)根,
即lnx1=ax1,lnx2=ax2,
不妨設(shè)x1>x2,作差得,lnx1x2=a(x1-x2),即a=lnx1x2x1x2
原不等式x1x2e2
等價(jià)于lnx1+lnx22?ax1+x22?lnx1x22x1x2x1+x2
x1x2=t,則t>1,lnx1x22x1x2x1+x2?lnt2t1t+1
設(shè)gt=lnt2t1t+1t1,gt=t12tt+120
∴函數(shù)g(t)在(1,+∞)上單調(diào)遞增,
∴g(t)>g(1)=0,
即不等式lnt2t1t+1成立,
故所證不等式x1x2e2成立.

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,方程與函數(shù)思想,轉(zhuǎn)化思想,屬中等題.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題

18.3sinx+cosx=(  )
A.sin(x+π3B.sin(x+π6C.2sin(x+π3D.2sin(x+π6

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

19.已知函數(shù)f(x)=|2x-1|+|2x+a|,g(x)=x+3.
(1)當(dāng)a=2時(shí),求不等式f(x)<g(x)的解集;
(2)設(shè)a>12,且當(dāng)x∈[12,a]時(shí),f(x)≤g(x),求a的取值范圍.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題

16.某班學(xué)生在一次數(shù)學(xué)考試中各分?jǐn)?shù)段以及人數(shù)的成績分布為:[0,80),2人;[80,90),6人;[90,100),4人;[100,110),8人;[110,120),12人;[120,130),5人;[130,140),6人;[140,150),2人.那么分?jǐn)?shù)在[100,130)中的頻數(shù)以及頻率分別為( �。�
A.25,0.56B.20,0.56C.25,0.50D.13,0.29

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題

3.命題“存在x0∈R,2x0≤0”的否定是( �。�
A.不存在 x0R2x00B.對(duì)任意的x0R2x00
C.對(duì)任意的 x0R2x00D.存在 x0R2x00

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題

13.不等式3x12x≥0的解集是(  )
A.{x|34≤x<2}B.{x|13x2}C.{x|x>2或x13}D.{x|x<2}

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題

20.橢圓x24+y2=1的兩個(gè)焦點(diǎn)為F1、F2,過F1作垂直于x軸的直線與橢圓相交,一個(gè)交點(diǎn)為P,則|PF2|=( �。�
A.32B.3C.72D.4

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

17.已知|a|=4,||=2,且a\overrightarrow夾角為120°求:
(1)(a-2)•(a+);
(2)a上的投影;
(3)aa+的夾角.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題

18.若0<a<1,b>-1則函數(shù)y=ax+b的圖象必不經(jīng)過( �。�
A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊(cè)答案