對稱問題
①點關(guān)于點對稱,如(x0,y0)關(guān)于(a,b)對稱點為
 

②點關(guān)于線對稱,如(1,2)關(guān)于y=3x對稱點為
 
.特別地,(x0,y0)關(guān)于直線y=x對稱的點為
 
,(x0,y0)關(guān)于直線y=-x對稱的點為
 

③線關(guān)于點對稱:如直線Ax+By+C=0關(guān)于點(x0,y0)對稱的直線為
 

④線關(guān)于線對稱:如:直線Ax+By+C=0關(guān)于直線y=x對稱的直線方程為
 
;直線Ax+By+C=0關(guān)于直線y=-x對稱的直線方程為
 
考點:與直線關(guān)于點、直線對稱的直線方程
專題:直線與圓
分析:利用中點坐標(biāo)公式、相互垂直的直線斜率之間的關(guān)系(即中心對稱與軸對稱的性質(zhì))即可得出.
解答: 解:①設(shè)(x0,y0)關(guān)于(a,b)對稱點為(x,y),則
a=
x+x0
2
b=
y+y0
2
,解得x=2a-x0,y=2b-y0,∴(x0,y0)關(guān)于(a,b)對稱點為(2a-x0,2b-y0).
②設(shè)(1,2)關(guān)于y=3x對稱點為(x,y),則
y-2
x-1
×3=-1
y+2
2
=3×
1+x
2
,解得x=
2
5
,y=
11
5
,因此其對稱點為(
2
5
,
11
5
)
.同理可得特別地,(x0,y0)關(guān)于直線y=x對稱的點為(y0,x0),(x0,y0)關(guān)于直線y=-x對稱的點為 (-y0,-x0).
③設(shè)點P(x,y)關(guān)于點(x0,y0)對稱的點在直線Ax+By+C=0上,則A(2x0-x)+B(2y0-y)+C=0,即為直線Ax+By+C=0關(guān)于點(x0,y0)對稱的直線.
④設(shè)要求的直線上任意一點為P(x,y),由于P(x,y)關(guān)于直線y=x對稱的點(y,x),∴直線Ax+By+C=0關(guān)于直線y=x對稱的直線方程為Ay+Bx+C=0,
同理可得直線Ax+By+C=0關(guān)于直線y=-x對稱的直線方程為-Ay-Bx+C=0.
故答案分別為:①(2a-x0,2b-y0),②(
2
5
11
5
)
,(y0,x0),(-y0,-x0),③A(2x0-x)+B(2y0-y)+C=0,④Ay+Bx+C=0,-Ay-Bx+C=0.
點評:本題考查了中點坐標(biāo)公式、相互垂直的直線斜率之間的關(guān)系、中心對稱與軸對稱的性質(zhì),考查了推理能力與計算能力,屬于中檔題.
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