Question

已知函數(shù)f（x）=

1

3

x3-

1

2

ax2+2x+1（a∈R）．
（Ⅰ）若函數(shù)f（x）在R上單調(diào)遞增，求a的取值范圍；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的條件下，設(shè)函數(shù)g（x）=e^x（e^x+a），x∈[0，ln2]，求g（x）的最小值．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（Ⅰ）先求導(dǎo)，再根據(jù)二次函數(shù)恒大于等于0，即△=a²-8≤0，解得即可．
（Ⅱ）先求導(dǎo)，再根據(jù)a的范圍經(jīng)行分類討論，即可求出函數(shù)的最小值．

解答： 解：（Ⅰ）求導(dǎo)得：f'（x）=x²-ax+2，
∵函數(shù)f（x）在R上單調(diào)遞增
∴f'（x）≥0恒成立
即x²-ax+2≥0恒成立，于是△=a²-8≤0，
解得：-2

2

≤a≤2

2

，
故a的取值范圍為[-2

2

，2

2

]，
（Ⅱ）求導(dǎo)得：g'（x）=e^x（2e^x+a），
由于0≤x≤ln2，
所以1≤e^x≤2，
即2≤2e^x≤4，
即a+2≤2e^x+a≤a+4，
由（Ⅰ）可知：-2

2

≤a≤2

2

，
于是a+4＞0
①當(dāng)a+2≥0即-2≤a≤2

2

時(shí)，即g'（x）≥0，
此時(shí)函數(shù)g（x）在[0，ln2]上單調(diào)遞增，所以g_min（x）=g（0）=1+a
②當(dāng)a+2＜0＜a+4即-2

2

≤a＜-2時(shí)，
令g'（x）=0，即2e^x+a=0，解得x=ln(-

1

2

a)，
此時(shí)函數(shù)g（x）在[0，ln(-

1

2

a)]上單調(diào)遞減，在[ln(-

1

2

a)，ln2]上單調(diào)遞增
所以gmin(x)=g(ln(-

1

2

a))=-

1

2

a(-

1

2

a+a)=-

1

4

a2
綜上所述：當(dāng)-2≤a≤2

2

時(shí)，g_min（x）=1+a；當(dāng)-2

2

≤a＜-2時(shí)，gmin(x)═-

1

4

a2．

點(diǎn)評(píng)：本題考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用，考查函數(shù)的單調(diào)性，考查恒成立問(wèn)題，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想，確定函數(shù)的單調(diào)性是關(guān)鍵．