Question

橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的離心率為

2

2

，兩個焦點分別為F₁（-1，0），F(xiàn)₂（1，0）．
（1）求橢圓C的方程；
（2）過點F₂（1，0）的直線l交橢圓C于M，N兩點，設(shè)點N關(guān)于x軸的對稱點為Q（M、Q不重合），求證：直線MQ過x軸上一個定點．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的關(guān)系,橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）通過橢圓的離心率與焦距，求出a，c，得到b，即可求出橢圓C的方程；
（2）設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），Q（x₂，-y₂），l：y=k（x-1），代入橢圓方程，利用韋達(dá)定理，結(jié)合MQ的方程為y-y1=

y1+y2

x1-x2

(x-x1)，令y=0，化簡求解可得x=2，說明直線MQ過x軸上一個定點．

解答： （本題滿分（12分），第（1）問（3分），第（2）問9分）
解：（1）

c=1 c a = 2 2

⇒c=1，a=

2

，b=1，
所以橢圓的方程為

x2

2

+y2=1；…（3分）
（2）設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），Q（x₂，-y₂），l：y=k（x-1），
代入

x2

2

+y2=1(y≠0)整理得（1+2k²）x²-4k²x+2k²-2=0，
由韋達(dá)定理可得：x1+x2=

4k2

1+2k2

，x1x2=

2k2-2

1+2k2

，…（6分）
MQ的方程為y-y1=

y1+y2

x1-x2

(x-x1)
令y=0，得x=x1+

y1(x2-x1)

y1+y2

=x1+

k(x1-1)(x2-x1)

k(x1+x2-2)

=

2x1x2-(x1+x2)

x1+x2-2

代入x1+x2=

4k2

1+2k2

，x1x2=

2k2-2

1+2k2

，
x=

2x1x2-(x1+x2)

x1+x2-2

=

2× 2k2-2 1+2k2 - 4k2 1+2k2

4k2 1+2k2 -2

=2．
得x=2，所以直線過定點（2，0）…（12分）

點評：本題考查橢圓方程的求法，直線與橢圓的位置關(guān)系的應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想以及計算能力．