Question

設f（x），g（x）分別是定義在（-∞，0）∪（0，+∞）上的奇函數(shù)和偶函數(shù)，當x＜0時，f′（x）g（x）+f（x）g′（x）＞0．且g（-3）=0．則不等式f（x）g（x）＜0的解集是（　　）

• A、（-3，0）∪（3，+∞）
• B、（-3，0）∪（0，3）
• C、（-∞，-3）∪（3，+∞）
• D、（-∞，-3）∪（0，3）

Answer 1

考點：利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)

專題：計算題,函數(shù)的性質(zhì)及應用,導數(shù)的綜合應用

分析：令F（x）=f（x）g（x），由條件可得F（x）為奇函數(shù)，由導數(shù)的乘法運算法則，有（f（x）g（x））′＞0，即有x＜0時，函數(shù)F（x）遞增，則有x＞0時，函數(shù)F（x）遞增．求出F（-3）=F（3）=0，討論x＞0，x＜0，應用單調(diào)性即可得到所求的解集．

解答： 解：令F（x）=f（x）g（x），
由于f（x），g（x）分別是定義
在（-∞，0）∪（0，+∞）上的奇函數(shù)和偶函數(shù)，
則f（-x）=-f（x），g（-x）=g（x），
由F（-x）=f（-x）g（-x）=-f（x）g（x）=-F（x），
則F（x）為奇函數(shù)，
由于當x＜0時，f′（x）g（x）+f（x）g′（x）＞0，
即有（f（x）g（x））′＞0，
即有x＜0時，函數(shù)F（x）遞增，則有x＞0時，函數(shù)F（x）遞增．
由于g（-3）=0，則F（-3）=F（3）=0，
不等式f（x）g（x）＜0即為F（x）＜0，
若x＞0，則F（x）＜F（3），即得0＜x＜3；
若x＜0，則F（x）＜F（-3），即得x＜-3．
故原不等式的解集為（0，3）∪（-∞，-3）．
故選D．

點評：本題考查函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性和應用，考查導數(shù)的運算法則的逆用，函數(shù)的單調(diào)性與導數(shù)的符號之間的關系，考查運算能力，屬于中檔題．