Question

8．若關(guān)于x的不等式ax²+3x-1＜0的解集是$（{-∞，\frac{1}{2}}）∪（{1，+∞}）$，
（1）求a的值；
（2）求不等式ax²-3x+a²+1＞0的解集．

Answer 1

分析 （1）由題意可知，1，$\frac{1}{2}$是方程ax²+3x-1的兩根，通過(guò)韋達(dá)定理可求出a的值；
（2）將（1）中的a代入不等式ax²-3x+a2+1＞0，解這個(gè)一元二次不等式即可；
（注意二次項(xiàng)系數(shù)小于0要變形求解）

解答 解：（1）∵不等式ax²+3x-1＜0的解集是$（{-∞，\frac{1}{2}}）∪（{1，+∞}）$，
∴方程ax²+3x-1=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根為$\frac{1}{2}$和1，
∴$\frac{1}{2}$+1=-$\frac{3}{a}$且$\frac{1}{2}$×1=-$\frac{1}{a}$，
解得a=-2，
∴a的值為-2；
（2）a=-2時(shí)，不等式ax²-3x+a²+1＞0化為
-2x²-3x+5＞0，
即2x²+3x-5＜0，
∵方程2x²+3x-5=0的兩根為x₁=1，x₂=-$\frac{5}{2}$，
∴不等式ax²-3x+a²+1＞0的解集為{x|-$\frac{5}{2}$＜x＜1}．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了一元二次不等式與對(duì)應(yīng)方程的應(yīng)用問(wèn)題，也考查了根與系數(shù)關(guān)系的應(yīng)用問(wèn)題，是基礎(chǔ)題目．