考點(diǎn):數(shù)列與不等式的綜合,數(shù)列遞推式
專題:等差數(shù)列與等比數(shù)列
分析:(1)由數(shù)列遞推式S
n=-a
n+2n得到S
n-1=2(n-1)-a
n-1,兩式作差后構(gòu)造等比數(shù)列{a
n-2},由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求得答案.
(2)由已知中b
n=
+
-2
-
=
≤
,由等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式,可得答案.
解答:
解:(1)由S
n=-a
n+2n①
得S
n-1=2(n-1)-a
n-1 (n≥2)②
①-②得:2a
n=a
n-1+2,
∴a
n-2=
(a
n-1-2)(n≥2),
又S
1=a
1=2×1-a
1,得a
1=1.
∴{a
n-2}構(gòu)成以-1為首項(xiàng),以
為公比的等比數(shù)列.
∴a
n-2=-1×(
)
n-1=-(
)
n-1,
a
n=2-(
)
n-1.
當(dāng)n=1時(shí)上式成立.
∴a
n=2-(
)
n-1.
證明:(2)∵b
n=
+
-2=
-
=
≤
,
故T
n≤
+
+
+…+
=
-
(
)
n<
點(diǎn)評:本題考查數(shù)列的遞推式,考查了an=pan-1+q型遞推式的通項(xiàng)公式的求法,等比數(shù)列求和,放縮法證明不等式,解答(1)鍵是構(gòu)造出新的等比數(shù)列,解答(2)的關(guān)鍵是進(jìn)行放縮,屬于中檔題.