Question

數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且S_n=-a_n+2n（n∈N^*）．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式
（2）設(shè)b_n=

an

an+1

+

an+1

an

-2，數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為T_n，求證：T_n＜

1

3

．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列與不等式的綜合,數(shù)列遞推式

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由數(shù)列遞推式S_n=-a_n+2n得到S_n-1=2（n-1）-a_n-1，兩式作差后構(gòu)造等比數(shù)列{a_n-2}，由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求得答案．
（2）由已知中b_n=

an

an+1

+

an+1

an

-2

1

2n+2-2

-

1

2n+2-1

=

1

(2n+2-2)(2n+2-1)

≤

1

22n

，由等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式，可得答案．

解答： 解：（1）由S_n=-a_n+2n①
得S_n-1=2（n-1）-a_n-1 （n≥2）②
①-②得：2a_n=a_n-1+2，
∴a_n-2=

1

2

（a_n-1-2）（n≥2），
又S₁=a₁=2×1-a₁，得a₁=1．
∴{a_n-2}構(gòu)成以-1為首項(xiàng)，以

1

2

為公比的等比數(shù)列．
∴a_n-2=-1×（

1

2

）^n-1=-（

1

2

）^n-1，
a_n=2-（

1

2

）^n-1．
當(dāng)n=1時(shí)上式成立．
∴a_n=2-（

1

2

）^n-1．
證明：（2）∵b_n=

an

an+1

+

an+1

an

-2=

1

2n+2-2

-

1

2n+2-1

=

1

(2n+2-2)(2n+2-1)

≤

1

22n

，
故T_n≤

1

4

+

1

16

+

1

64

+…+

1

22n

=

1

3

-

1

3

（

1

4

）ⁿ＜

1

3

點(diǎn)評：本題考查數(shù)列的遞推式，考查了a_n=pa_n-1+q型遞推式的通項(xiàng)公式的求法，等比數(shù)列求和，放縮法證明不等式，解答（1）鍵是構(gòu)造出新的等比數(shù)列，解答（2）的關(guān)鍵是進(jìn)行放縮，屬于中檔題．