Question

20．已知函數f（x）=ax²+bx-lnx（a，b∈R）．
（1）設b=2-a，求f（x）的零點的個數；
（2）設a＞0，且對于任意x＞0，f'（1）=0，試問lna+2b是否一定為負數，并說明理由．

Answer 1

分析 （1）求出函數的導數，討論a的范圍，判斷函數的單調性，然后求解函數的零點．
（2）由a＞0，求出函數的$f'（x）=2ax+b-\frac{1}{x}=0$，得到f（x）的唯一的極小值點，推出b=1-2a．構造函數
g（x）=2-4x+lnx，利用導函數通過函數的單調性，求出函數的最值，即可證明lna+2b一定為負數．

解答 解：（1）∵$b=2-a，f'（x）=\frac{{（{2x-1}）（{ax+1}）}}{x}$．
若a≥0，f（x）在（0，$\frac{1}{2}$）上是減函數，（$\frac{1}{2}$，+∞）是增函數；
①0≤a＜4（1+ln2）時，無零點； ②a=4（1+ln2）時有一個零點； ③a＞4（1+ln2）時有兩個零點．
若a＜0時，
①-2＜a＜0，（0，$\frac{1}{2}$）函數是減函數，（$\frac{1}{2}$，-$\frac{1}{a}$）函數是增函數，（-$\frac{1}{a}$，+∞）函數是減函數，f（$\frac{1}{2}$）=-$\frac{a}{4}$+1+ln2＞0，只有一個零點；
②a=-2，（0，+∞）是減函數只有一個零點；
③a＜-2，（0，$-\frac{1}{a}$）函數是減函數，（-$\frac{1}{a}$，$\frac{1}{2}$）函數是增函數，（$\frac{1}{2}$，+∞）函數是減函數，f（-$\frac{1}{a}$）=-$\frac{1}{a}$+1+ln（-a）＞0，只有一個零點；
綜上得：0≤a＜4（1+ln2）時，無零點；a＜0或a=4（1+ln2）時有一個零點； a＞4（1+ln2）時有兩個零點．
（2）由a＞0，且對于任意x＞0，f'（1）=0．
由$f'（x）=2ax+b-\frac{1}{x}=0$，得$\frac{{-b+\sqrt{{b^2}+8a}}}{4a}$是f（x）的唯一的極小值點，
故$\frac{{-b+\sqrt{{b^2}+8a}}}{4a}=1$，整理得2a+b=1，即b=1-2a．
令g（x）=2-4x+lnx，則$g'（x）=\frac{1-4x}{x}$，
令g'（x）=0得x=$\frac{1}{4}$，當$0＜x＜\frac{1}{4}$時，g'（x）＞0，g（x）單調遞增； 
當$x＞\frac{1}{4}$時，g'（x）＜0，g（x）單調遞淢，
因此$g（x）≤g（{\frac{1}{4}}）=1+ln\frac{1}{4}=1-ln4＜0$，
故g（a）＜0，即2-4a+lna=2b+lna＜0，即lna+2b一定為負數．

點評 本題考查函數的導數的綜合應用，函數的單調性以及函數的極值、最值，考查轉化思想以及構造法的應用，考查分析問題解決問題的能力、