【題目】如圖所示的四棱錐中，底面為矩形， ， 的中點(diǎn)為, ，異面直線與所成的角為， 平面.

（1）證明： 平面；

（2）求二面角的余弦值的大小.

【答案】（1）見解析.（2）.

【解析】試題分析：（1）由已為矩形，可得為的中點(diǎn).結(jié)合為的中點(diǎn)，根據(jù)三角形中位線定理可得， ，由線面平行的判定定理可得結(jié)果；（2）由（1）可知，所以或，先證明，可得，因?yàn)?/span>， ， 兩兩垂直，分別以， ， 所在直線為軸， 軸， 軸建立空間直角坐標(biāo)系，平面的一個(gè)法向量為，再求出平面的一個(gè)法向量，利用空間向量夾角余弦公式可得結(jié)果.

試題解析：（1）由已知為矩形，且，所以為的中點(diǎn).

又因?yàn)?/span>為的中點(diǎn)，所以在中， ，又因?yàn)?/span>平面， 平面，

因此平面.

（2）由（1）可知，所以異面直線與所成的角即為 (或的補(bǔ)角).

所以或.

設(shè)，在中， ， ，又由平面可知，且為中點(diǎn)，因此，此時(shí)，所以，所以為等邊三角形，所以，即，因?yàn)?/span>， ， 兩兩垂直，分別以， ， 所在直線為軸， 軸， 軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，

則， ， ， ，所以， .

由， ， ，可得平面，可取平面的一個(gè)法向量為.

設(shè)平面的一個(gè)法向量為，由

令，所以.

因此 ，又二面角為銳角，故二面角的余弦值為.

【方法點(diǎn)晴】本題主要考查線面平行的判定定理、利用空間向量求二面角，屬于難題.空間向量解答立體幾何問題的一般步驟是：（1）觀察圖形，建立恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系；（2）寫出相應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)，求出相應(yīng)直線的方向向量；（3）設(shè)出相應(yīng)平面的法向量，利用兩直線垂直數(shù)量積為零列出方程組求出法向量；（4）將空間位置關(guān)系轉(zhuǎn)化為向量關(guān)系；（5）根據(jù)定理結(jié)論求出相應(yīng)的角和距離.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】十九大以來，國家深入推進(jìn)精準(zhǔn)脫貧，加大資金投入，強(qiáng)化社會幫扶，為了更好的服務(wù)于人民，派調(diào)查組到某農(nóng)村去考察和指導(dǎo)工作.該地區(qū)有200戶農(nóng)民，且都從事水果種植，據(jù)了解，平均每戶的年收入為3萬元.為了調(diào)整產(chǎn)業(yè)結(jié)構(gòu)，調(diào)查組和當(dāng)?shù)卣疀Q定動員部分農(nóng)民從事水果加工，據(jù)估計(jì)，若能動員戶農(nóng)民從事水果加工，則剩下的繼續(xù)從事水果種植的農(nóng)民平均每戶的年收入有望提高，而從事水果加工的農(nóng)民平均每戶收入將為萬元.

（1）若動員戶農(nóng)民從事水果加工后，要使從事水果種植的農(nóng)民的總年收入不低于動員前從事水果種植的農(nóng)民的總年收入，求的取值范圍；

（2）在（1）的條件下，要使這200戶農(nóng)民中從事水果加工的農(nóng)民的總收入始終不高于從事水果種植的農(nóng)民的總收入，求的最大值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】A袋中有1個(gè)紅球和1個(gè)黑球，B袋中有2個(gè)紅球和1個(gè)黑球，A袋中任取1個(gè)球與B袋中任取1個(gè)球互換，這樣的互換進(jìn)行了一次，求：

(1)A袋中紅球恰是1個(gè)的概率；

(2)A袋中紅球至少是1個(gè)的概率．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】利用獨(dú)立性檢驗(yàn)的方法調(diào)查高中生性別與愛好某項(xiàng)運(yùn)動是否有關(guān)，通過隨機(jī)調(diào)查200名高中生是否愛好某項(xiàng)運(yùn)動，利用列聯(lián)表，由計(jì)算可得，參照下表：

0.01

0.05

0.025

0.010

0.005

0.001

2.706

3.841

5,024

6.635

7.879

10.828

得到的正確結(jié)論是（ ）

A. 有99%以上的把握認(rèn)為“愛好該項(xiàng)運(yùn)動與性別無關(guān)”

B. 有99%以上的把握認(rèn)為“愛好該項(xiàng)運(yùn)動與性別有關(guān)”

C. 在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.5%的前提下，認(rèn)為“愛好該項(xiàng)運(yùn)動與性別有關(guān)”

D. 在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.5%的前提下，認(rèn)為“愛好該項(xiàng)運(yùn)動與性別無關(guān)”

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】口袋里裝有1紅，2白，3黃共6個(gè)形狀相同的小球，從中取出2球，事件“取出的兩球同色”，“取出的2球中至少有一個(gè)黃球”，“取出的2球至少有一個(gè)白球”，“取出的兩球不同色”，“取出的2球中至多有一個(gè)白球”.下列判斷中正確的序號為________.

①與為對立事件；②與是互斥事件；③與是對立事件：④；⑤.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】近年來，共享單車已經(jīng)悄然進(jìn)入了廣大市民的日常生活，并慢慢改變了人們的出行方式.為了更好地服務(wù)民眾，某共享單車公司在其官方中設(shè)置了用戶評價(jià)反饋系統(tǒng)，以了解用戶對車輛狀況和優(yōu)惠活動的評價(jià).現(xiàn)從評價(jià)系統(tǒng)中選出條較為詳細(xì)的評價(jià)信息進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，車輛狀況的優(yōu)惠活動評價(jià)的列聯(lián)表如下：

（1）能否在犯錯(cuò)誤的概率不超過的前提下認(rèn)為優(yōu)惠活動好評與車輛狀況好評之間有關(guān)系？

（2）為了回饋用戶，公司通過向用戶隨機(jī)派送騎行券.用戶可以將騎行券用于騎行付費(fèi)，也可以通過轉(zhuǎn)贈給好友.某用戶共獲得了5張騎行券，其中只有2張是一元券.現(xiàn)該用戶從這5張騎行券中隨機(jī)選取2張轉(zhuǎn)贈給好友，求選取的張中至少有1張是一元券的概率.

參考公式：，其中.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】光伏發(fā)電是將光能直接轉(zhuǎn)變?yōu)殡娔艿囊环N技術(shù)，具有資源的充足性及潛在的經(jīng)濟(jì)性等優(yōu)點(diǎn)，在長期的能源戰(zhàn)略中具有重要地位，2015年起，國家能源局、國務(wù)院扶貧辦聯(lián)合在6省的30個(gè)縣開展光伏扶貧試點(diǎn)，在某縣居民中隨機(jī)抽取50戶，統(tǒng)計(jì)其年用量得到以下統(tǒng)計(jì)表.以樣本的頻率作為概率.

用電量（單位：度）

戶數(shù)

7

8

15

13

7

(Ⅰ)在該縣居民中隨機(jī)抽取10戶，記其中年用電量不超過600度的戶數(shù)為，求的數(shù)學(xué)期望；

(Ⅱ)在總結(jié)試點(diǎn)經(jīng)驗(yàn)的基礎(chǔ)上，將村級光伏電站穩(wěn)定為光伏扶貧的主推方式.已知該縣某自然村有居民300戶.若計(jì)劃在該村安裝總裝機(jī)容量為300千瓦的光伏發(fā)電機(jī)組，該機(jī)組所發(fā)電量除保證該村正常用電外，剩余電量國家電網(wǎng)以0.8元/度的價(jià)格進(jìn)行收購.經(jīng)測算每千瓦裝機(jī)容量的發(fā)電機(jī)組年平均發(fā)電1000度，試估計(jì)該機(jī)組每年所發(fā)電量除保證正常用電外還能為該村創(chuàng)造直接受益多少元？

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】△ABC的內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c.向量＝(a，b)與＝(cosA，sinB)平行．

(1)求A；

(2)若a＝，b＝2，求△ABC的面積．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)的圖象上的一個(gè)最低點(diǎn)為，周期為.

（1）求的解析式；

（2）將的圖象上的所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍（縱坐標(biāo)不變），然后再將所得的圖象沿軸向右平移個(gè)單位，得到函數(shù)的圖象，寫出函數(shù)的解析式；

（3）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的最大值和最小值.

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