12.如圖,已知正方形OABC邊長(zhǎng)為3,點(diǎn)M,N分別為線段BC,AB上一點(diǎn),且2BM=MC,AN=NB,P為△BNM內(nèi)一點(diǎn)(含邊界),設(shè)$\overrightarrow{OP}=λ\overrightarrow{OA}+μ\overrightarrow{OC}$(λ,μ為實(shí)數(shù)),則$λ-\frac{1}{3}μ$的最大值為$\frac{5}{6}$.

分析 如圖,以O(shè)A為x軸,以O(shè)C為y軸,建立直角坐標(biāo)系,表示各點(diǎn)的坐標(biāo),根據(jù)向量的坐標(biāo)運(yùn)算得到λ$-\frac{1}{3}μ$=$\frac{x}{3}$-$\frac{y}{9}$=$\frac{1}{9}$(3x-y),構(gòu)造目標(biāo)函數(shù),利用可行域即可求出最值.

解答 解:如圖,以O(shè)A為x軸,以O(shè)C為y軸,建立直角坐標(biāo)系,
則O(0,0),A(3,0),C(0.3),B(3,3),
∵2BM=MC,AN=NB,
∴M(1,3),N(3,$\frac{3}{2}$),
設(shè)P(x,y),
∵$\overrightarrow{OP}=λ\overrightarrow{OA}+μ\overrightarrow{OC}$(λ,μ為實(shí)數(shù)),
∴$\overrightarrow{OP}$=λ(3,0)+μ(0,3)=(3λ,3μ),
∴$\left\{\begin{array}{l}{x=3λ}\\{y=3μ}\end{array}\right.$,即$\left\{\begin{array}{l}{λ=\frac{x}{3}}\\{μ=\frac{y}{3}}\end{array}\right.$,
∴λ$-\frac{1}{3}μ$=$\frac{x}{3}$-$\frac{y}{9}$=$\frac{1}{9}$(3x-y),
令z=3x-y,即y=3x-z,
由M(1,3),N(3,$\frac{3}{2}$),得到直線MN的方程為3x+4x-15=0,
則x,y滿足的區(qū)域?yàn)?\left\{\begin{array}{l}{1≤x≤3}\\{\frac{3}{2}≤y≤3}\\{3x+4y-15≥0}\end{array}\right.$,如圖所示,
當(dāng)目標(biāo)函數(shù)z=3x-y,過點(diǎn)N(3,$\frac{3}{2}$)時(shí),Z最大,
則zmax=3×3-$\frac{3}{2}$=9-$\frac{3}{2}$=$\frac{15}{2}$,
∴(λ$-\frac{1}{3}μ$)max=$\frac{1}{9}$×$\frac{15}{2}$=$\frac{5}{6}$
故答案為:$\frac{5}{6}$

點(diǎn)評(píng) 本題考查了向量的坐標(biāo)運(yùn)算和和線性規(guī)劃的問題,關(guān)鍵是構(gòu)造目標(biāo)函數(shù),屬于中檔題.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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2.已知點(diǎn)P(-2,3),點(diǎn)Q(-6,-1),則直線PQ的傾斜角為( 。
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3.下列命題中錯(cuò)誤的個(gè)數(shù)為(  )
①若p∨q為真命題,則p∧q為真命題;
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③命題p:?x0∈R,x02+x0-1<0,則非p:?x∈R,x2+x-1≥0;
④命題“若x2-3x+2=0,則x=1或x=2”的逆命題為“若x≠1或x≠2,則x2-3x+2≠0”.
A.1B.2C.3D.4

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20.《周髀算經(jīng)》記載了勾股定理的公式與證明,勾股定理相傳由商高(商代)發(fā)現(xiàn),故又有稱之為商高定理,滿足等式a2+b2=c2的正整數(shù)組(a,b,c)叫勾股數(shù),如(3,4,5)就是勾股數(shù),執(zhí)行如圖所示的程序框圖,如果輸入的數(shù)是互相不相等的正整數(shù),則下面四個(gè)結(jié)論正確的是( 。
A.輸出的數(shù)組都是勾股數(shù)B.任意正整數(shù)都是勾股數(shù)組中的一個(gè)
C.相異兩正整數(shù)都可以構(gòu)造出勾股數(shù)D.輸出的結(jié)果中一定有a<b<c

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7.已知函數(shù)$f(x)=\frac{1}{2}-{cos^2}x+\sqrt{3}sinxcosx$.
(1)求f(x)單調(diào)遞減區(qū)間;
(2)△ABC中,角A,B,C的對(duì)邊a,b,c滿足b2+c2-a2>bc,求f(A)的取值范圍.

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17.如圖,在菱形ABCD中,若AC=4,則$\overrightarrow{CA}$•$\overrightarrow{AB}$=-8.

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1.一個(gè)球的內(nèi)接正方體的表面積為54,則球的表面積為 ( 。
A.27πB.18πC.D.54π

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