Question

12．如圖，已知正方形OABC邊長(zhǎng)為3，點(diǎn)M，N分別為線段BC，AB上一點(diǎn)，且2BM=MC，AN=NB，P為△BNM內(nèi)一點(diǎn)（含邊界），設(shè)$\overrightarrow{OP}=λ\overrightarrow{OA}+μ\overrightarrow{OC}$（λ，μ為實(shí)數(shù)），則$λ-\frac{1}{3}μ$的最大值為$\frac{5}{6}$．

Answer 1

分析 如圖，以O(shè)A為x軸，以O(shè)C為y軸，建立直角坐標(biāo)系，表示各點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)向量的坐標(biāo)運(yùn)算得到λ$-\frac{1}{3}μ$=$\frac{x}{3}$-$\frac{y}{9}$=$\frac{1}{9}$（3x-y），構(gòu)造目標(biāo)函數(shù)，利用可行域即可求出最值．

解答 解：如圖，以O(shè)A為x軸，以O(shè)C為y軸，建立直角坐標(biāo)系，
則O（0，0），A（3，0），C（0.3），B（3，3），
∵2BM=MC，AN=NB，
∴M（1，3），N（3，$\frac{3}{2}$），
設(shè)P（x，y），
∵$\overrightarrow{OP}=λ\overrightarrow{OA}+μ\overrightarrow{OC}$（λ，μ為實(shí)數(shù)），
∴$\overrightarrow{OP}$=λ（3，0）+μ（0，3）=（3λ，3μ），
∴$\left\{\begin{array}{l}{x=3λ}\\{y=3μ}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{λ=\frac{x}{3}}\\{μ=\frac{y}{3}}\end{array}\right.$，
∴λ$-\frac{1}{3}μ$=$\frac{x}{3}$-$\frac{y}{9}$=$\frac{1}{9}$（3x-y），
令z=3x-y，即y=3x-z，
由M（1，3），N（3，$\frac{3}{2}$），得到直線MN的方程為3x+4x-15=0，
則x，y滿足的區(qū)域?yàn)?\left\{\begin{array}{l}{1≤x≤3}\\{\frac{3}{2}≤y≤3}\\{3x+4y-15≥0}\end{array}\right.$，如圖所示，
當(dāng)目標(biāo)函數(shù)z=3x-y，過點(diǎn)N（3，$\frac{3}{2}$）時(shí)，Z最大，
則z_max=3×3-$\frac{3}{2}$=9-$\frac{3}{2}$=$\frac{15}{2}$，
∴（λ$-\frac{1}{3}μ$）max=$\frac{1}{9}$×$\frac{15}{2}$=$\frac{5}{6}$
故答案為：$\frac{5}{6}$

點(diǎn)評(píng) 本題考查了向量的坐標(biāo)運(yùn)算和和線性規(guī)劃的問題，關(guān)鍵是構(gòu)造目標(biāo)函數(shù)，屬于中檔題．