分析 (1)由題意和奇函數(shù)的性質(zhì)得f(-1)=-f(1),代入解析式列出方程求出a,可求出f(x)并判斷出f(x)的單調(diào)性,由條件和單調(diào)性列出關(guān)于m的不等式,求出m的取值范圍;
(2)根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性和條件,分兩種情況列出不等式組,求出k的值.
解答 解:(1)∵函數(shù)$f(x)=\frac{{{x^2}+ax+4}}{x}$為奇函數(shù),
∴f(-1)=-f(1),則-(1-a+4)=-(1+a+4),解得a=0,
即$f(x)=\frac{{x}^{2}+4}{x}$=$x+\frac{4}{x}$,
∴f(x)在(0,2)上是減函數(shù),在(2,+∞)上是增函數(shù),
∵函數(shù)f(x)在區(qū)間$[{\frac{m}{2},m}]({m>0})$上為單調(diào)函數(shù),
∴m≤2或$\frac{m}{2}≥2$,則0<m≤2或m≥4,
∴m的取值范圍是(0,2]∪[4,+∞);
(2)由(1)知,
f(x)在(0,2)上是減函數(shù),在(2,+∞)上是增函數(shù),
∵f(x)在區(qū)間[1,k]上的最小值為3k,
∴$\left\{\begin{array}{l}{1<k≤2}\\{f(k)=k+\frac{4}{k}=3k}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{k≥2}\\{f(2)=2+\frac{4}{2}=3k}\end{array}\right.$,
解得k=$\sqrt{2}$或k=$\frac{4}{3}$(舍去),
即k的值是$\sqrt{2}$.
點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)奇偶性的性質(zhì),以及對(duì)號(hào)函數(shù)的單調(diào)性的應(yīng)用,考查方程思想,分類討論思想,屬于中檔題.
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A. | 假設(shè)三角形的內(nèi)角三個(gè)內(nèi)角中沒有一個(gè)是鈍角 | |
B. | 假設(shè)三角形的內(nèi)角三個(gè)內(nèi)角中至少有一個(gè)是鈍角 | |
C. | 假設(shè)三角形的內(nèi)角三個(gè)內(nèi)角中至多有兩個(gè)是鈍角 | |
D. | 假設(shè)三角形的內(nèi)角三個(gè)內(nèi)角中至少有兩個(gè)是鈍角 |
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A. | (0,$\frac{5π}{8}$) | B. | ($\frac{5π}{8}$,$\frac{5π}{3}$) | C. | ($\frac{5π}{3}$,2π) | D. | ($\frac{5π}{3}$,$\frac{5π}{2}$) |
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A. | 1 | B. | 2 010 | C. | 4 018 | D. | 0 |
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