18.已知函數(shù)$f(x)=\frac{{{x^2}+ax+4}}{x}$為奇函數(shù).
(1)若函數(shù)f(x)在區(qū)間$[{\frac{m}{2},m}]({m>0})$上為單調(diào)函數(shù),求m的取值范圍;
(2)若函數(shù)f(x)在區(qū)間[1,k]上的最小值為3k,求k的值.

分析 (1)由題意和奇函數(shù)的性質(zhì)得f(-1)=-f(1),代入解析式列出方程求出a,可求出f(x)并判斷出f(x)的單調(diào)性,由條件和單調(diào)性列出關(guān)于m的不等式,求出m的取值范圍;
(2)根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性和條件,分兩種情況列出不等式組,求出k的值.

解答 解:(1)∵函數(shù)$f(x)=\frac{{{x^2}+ax+4}}{x}$為奇函數(shù),
∴f(-1)=-f(1),則-(1-a+4)=-(1+a+4),解得a=0,
即$f(x)=\frac{{x}^{2}+4}{x}$=$x+\frac{4}{x}$,
∴f(x)在(0,2)上是減函數(shù),在(2,+∞)上是增函數(shù),
∵函數(shù)f(x)在區(qū)間$[{\frac{m}{2},m}]({m>0})$上為單調(diào)函數(shù),
∴m≤2或$\frac{m}{2}≥2$,則0<m≤2或m≥4,
∴m的取值范圍是(0,2]∪[4,+∞);
(2)由(1)知,
f(x)在(0,2)上是減函數(shù),在(2,+∞)上是增函數(shù),
∵f(x)在區(qū)間[1,k]上的最小值為3k,
∴$\left\{\begin{array}{l}{1<k≤2}\\{f(k)=k+\frac{4}{k}=3k}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{k≥2}\\{f(2)=2+\frac{4}{2}=3k}\end{array}\right.$,
解得k=$\sqrt{2}$或k=$\frac{4}{3}$(舍去),
即k的值是$\sqrt{2}$.

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)奇偶性的性質(zhì),以及對(duì)號(hào)函數(shù)的單調(diào)性的應(yīng)用,考查方程思想,分類討論思想,屬于中檔題.

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20.計(jì)算:
(1)$(\frac{9}{4}{)^{\frac{1}{2}}}-{(-2.5)^0}-{(\frac{8}{27})^{\frac{2}{3}}}+{(\frac{3}{2})^{-2}}$;
(2)(lg 5)2+lg 2•lg 50.

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6.用反證法證明命題“三角形的三個(gè)內(nèi)角中至多有一個(gè)是鈍角”時(shí),假設(shè)正確的是( 。
A.假設(shè)三角形的內(nèi)角三個(gè)內(nèi)角中沒有一個(gè)是鈍角
B.假設(shè)三角形的內(nèi)角三個(gè)內(nèi)角中至少有一個(gè)是鈍角
C.假設(shè)三角形的內(nèi)角三個(gè)內(nèi)角中至多有兩個(gè)是鈍角
D.假設(shè)三角形的內(nèi)角三個(gè)內(nèi)角中至少有兩個(gè)是鈍角

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13.如圖,由于函數(shù)f(x)=sin(π-ωx)sin($\frac{π}{2}$+φ)-sin(ωx+$\frac{3π}{2}$)sinφ(ω>0)的圖象部分?jǐn)?shù)據(jù)已污損,現(xiàn)可以確認(rèn)點(diǎn)C($\frac{5π}{2}$,0),其中A點(diǎn)是圖象在y軸左側(cè)第一個(gè)與x軸的交點(diǎn),B點(diǎn)是圖象在y軸右側(cè)第一個(gè)最高點(diǎn),則f(x)在下列區(qū)間中是單調(diào)的( 。
A.(0,$\frac{5π}{8}$)B.($\frac{5π}{8}$,$\frac{5π}{3}$)C.($\frac{5π}{3}$,2π)D.($\frac{5π}{3}$,$\frac{5π}{2}$)

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3.已知函數(shù)f(x)=$\frac{{|{{2^x}-1}|}}{{{2^x}+1}}$.
(1)判斷函數(shù)f(x)的奇偶性;
(2)寫出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,并證明函數(shù)f(x)在(-∞,0)上的單調(diào)性.

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10.某企業(yè)生產(chǎn)的新產(chǎn)品必須先靠廣告打開銷路,該產(chǎn)品廣告效應(yīng)y(單位:元)是產(chǎn)品的銷售額與廣告費(fèi)x(單位:元)之間的差,如果銷售額與廣告費(fèi)x的算術(shù)平方根成正比,根據(jù)對(duì)市場(chǎng)的抽樣調(diào)查,每付出100元的廣告費(fèi),所得銷售額是1000元.
(Ⅰ)求出廣告效應(yīng)y與廣告費(fèi)x之間的函數(shù)關(guān)系式;
(Ⅱ)該企業(yè)投入多少?gòu)V告費(fèi)才能獲得最大的廣告效應(yīng)?是不是廣告費(fèi)投入越多越好?

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7.已知數(shù)列2008,2009,1,-2008,-2009,…這個(gè)數(shù)列的特點(diǎn)是從第二項(xiàng)起,每一項(xiàng)都等于它的前后兩項(xiàng)之和,則這個(gè)數(shù)列的前2016項(xiàng)之和S2016等于( 。
A.1B.2 010C.4 018D.0

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8.在平面直角坐標(biāo)系xOy中,傾斜角為α(α≠$\frac{π}{2}$)的直線l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=1+tcosα}\\{y=tsinα}\end{array}\right.$(t為參數(shù)),以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),以x軸的正半軸為極軸,建立極坐標(biāo)系,曲線C的極坐標(biāo)方程是ρcos2θ-4sinθ=0.
(Ⅰ)寫出直線l的普通方程和曲線C的直角坐標(biāo)方程;
(Ⅱ)已知點(diǎn)P(1,0),若點(diǎn)M的極坐標(biāo)為(1,$\frac{π}{2}$),直線l經(jīng)過點(diǎn)M且與曲線C相交于A,B兩點(diǎn),設(shè)線段AB的中點(diǎn)為Q,求|PQ|的值.

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