Question

8．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，傾斜角為α（α≠$\frac{π}{2}$）的直線l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=1+tcosα}\\{y=tsinα}\end{array}\right.$（t為參數(shù)），以坐標(biāo)原點為極點，以x軸的正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，曲線C的極坐標(biāo)方程是ρcos²θ-4sinθ=0．
（Ⅰ）寫出直線l的普通方程和曲線C的直角坐標(biāo)方程；
（Ⅱ）已知點P（1，0），若點M的極坐標(biāo)為（1，$\frac{π}{2}$），直線l經(jīng)過點M且與曲線C相交于A，B兩點，設(shè)線段AB的中點為Q，求|PQ|的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）消去參數(shù)得到直線l的普通方程、利用極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化方法，求出曲線C的直角坐標(biāo)方程；
（Ⅱ）由題意，直線l的方程為x+y-1=0，與x²=4y聯(lián)立可得x²+4x-4=0，求出Q的坐標(biāo)，即可求|PQ|的值．

解答 解：（Ⅰ）傾斜角為α（α≠$\frac{π}{2}$）的直線l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=1+tcosα}\\{y=tsinα}\end{array}\right.$（t為參數(shù)），普通方程為y=tanα（x-1）．
曲線C的極坐標(biāo)方程是ρcos²θ-4sinθ=0，直角坐標(biāo)方程x²=4y；
（Ⅱ）由題意，直線l的方程為x+y-1=0，與x²=4y聯(lián)立可得x²+4x-4=0，
∴線段AB的中點的橫坐標(biāo)為-2，縱坐標(biāo)為3，即Q（-2，3），
∴|PQ|=$\sqrt{（1+2）^{2}+（0-3）^{2}}$=3$\sqrt{2}$．

點評 本題考查參數(shù)方程、極坐標(biāo)方程、直角坐標(biāo)方程的互化，考查直線與拋物線的位置關(guān)系，屬于中檔題．