Question

（1）已知集合P={x|

1

2

≤x≤3}，函數(shù)f（x）=log₂（ax²-2x+2）的定義域為Q，
若P∩Q=[

1

2

，

2

3

），P∪Q=（-2，3]，求實數(shù)a的值．
（2）函數(shù)f（x）定義在R上且f（x）=-f（x+

3

2

），當

1

2

≤x≤3時，f（x）=log₂（ax²-2x+2），若f（35）=1，求實數(shù)a的值．

Answer 1

考點：交集及其運算,對數(shù)的運算性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應用,集合

分析：（1）結(jié)合題意，得出不等式ax²-2x+2＞0的解集為（-2，

2

3

）．說明a為負數(shù)且

2 a =-2+ 2 3 2 a =2× 2 3

，可得實數(shù)a的值；
（2）由f（x）=-f（x+

3

2

），得f（x）=-f（x+

3

2

）=f（x+

3

2

+

3

2

）=f（x+3），得f（x）的周期為3，知f（35）=f（2），由此能求出a．

解答： 解：（1））∵P∩Q=[

1

2

，

2

3

），P∪Q=（-2，3]，
∴Q=（-2，

2

3

）．
即不等式ax²-2x+2＞0的解集為=（-2，

2

3

）．
∴a＜0且

2 a =-2+ 2 3 2 a =-2× 2 3

，
∴a=-

3

2

．
（2）∵函數(shù)f（x）定義在R上且f（x）=-f（x+

3

2

），
∴f（x）=-f（x+

3

2

）=f（x+

3

2

+

3

2

）=f（x+3），
∴f（x）的周期為3，
f（35）=f（3×11+2）
=f（2）
=log₂（a•2²-4+2）
=1，
所以a=1．

點評：本題考查集合的混合運算和函數(shù)周期性的求法，解題時要認真審題，注意函數(shù)性質(zhì)的靈活運用．