Question

某工廠為提高生產(chǎn)效益，決定對一條生產(chǎn)線進(jìn)行升級改造，該生產(chǎn)線升級改造后的生產(chǎn)效益y萬元與升級改造的投入x（x＞10）萬元之間滿足函數(shù)關(guān)系：y=mlnx-

1

100

x2+

101

50

x+ln10（其中m為常數(shù)）若升級改造投入20萬元，可得到生產(chǎn)效益為35.7萬元．試求該生產(chǎn)線升級改造后獲得的最大利潤．（利潤=生產(chǎn)效益-投入）（參考數(shù)據(jù)：ln2=0.7，ln5=1.6）

Answer 1

考點：根據(jù)實際問題選擇函數(shù)類型

專題：應(yīng)用題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：由題意，代入（20，35.7）可得35.7=mln20-4+

101

50

×20+ln10，從而求出m，計算利潤函數(shù)，利用求導(dǎo)法求函數(shù)的最大值，從而得到最大利潤．

解答： 解：由題意可得，
35.7=mln20-4+

101

50

×20+ln10，
解得，m=-1，
則y=-lnx-

1

100

x2+

101

50

x+ln10，（x＞10）
設(shè)利潤為f（x）=y-x
=-lnx-

1

100

x2+

101

50

x+ln10-x
=-lnx-

1

100

x²+

51

50

x+ln10，（x＞10）
易得，
f′（x）=-

1

x

-

x

50

+

51

50

=

(x-50)(x-1)

50x

，
又∵x＞10，
∴當(dāng)10＜x＜50時，f′（x）＞0，
當(dāng)x＞50時，f′（x）＜0，
則x=50時，函數(shù)f（x）有最大值，
即f（50）=-ln50-

1

100

×（50）²+

51

50

×50+ln10=24.4（萬元）
答：該生產(chǎn)線升級改造后獲得的最大利潤為24.4萬元．

點評：本題考查了學(xué)生將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題的能力，及函數(shù)的最值的求法，屬于中檔題．