Question

18．已知f（x）=log_mx（m為常數(shù)，m＞0且m≠1），設(shè)f（a₁），f（a₂），…，f（a_n）（n∈N₊）是首項(xiàng)為4，公差為2的等差數(shù)列．
（Ⅰ）求證：數(shù)列l(wèi)og_ma_n=2n+2，{a_n}是等比數(shù)列；
（Ⅱ）若b_n=a_nf（a_n），記數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為S_n，當(dāng)m=$\sqrt{2}$時(shí)，求S_n．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由題意得：log_ma_n=2n+2，即${a_n}={m^{2n+2}}$，可得{a_n}是等比數(shù)列；
（Ⅱ）若b_n=a_nf（a_n）=（2n+2）2ⁿ⁺¹，利用錯(cuò)位相減法，可得S_n．

解答 證明：（Ⅰ）由題意f（a_n）=4+2（n-1）=2n+2，即log_ma_n=2n+2，
∴${a_n}={m^{2n+2}}$
∴{a_n}是以m⁴為首項(xiàng)，m²為公比的等比數(shù)列
解：（Ⅱ）當(dāng)m=$\sqrt{2}$時(shí)，${a}_{n}={2}^{n+1}$
b_n=a_nf（a_n）=（2n+2）2ⁿ⁺¹，
S_n=4•2²+6•2³+8•2⁴+…+（2n+2）•2ⁿ⁺¹，…①
2S_n=4•2³+6•2⁴+…+（2n）•2ⁿ⁺¹+（2n+2）•2ⁿ⁺²，…②
②-①并整理，得S_n=2ⁿ⁺³•n

點(diǎn)評(píng) 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是數(shù)形求和，對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)，熟練掌握對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)，是解答的關(guān)鍵．