Question

8．已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，${S_n}=\frac{4}{3}（{a_n}-1）$，則數(shù)列$\{a_n^2\}$的前n項(xiàng)和T_n=$\frac{{1{6^{n+1}}-16}}{15}$．

Answer 1

分析 根據(jù)已知條件${S_n}=\frac{4}{3}（{a_n}-1）$推出等比數(shù)列的通項(xiàng)公式a_n，進(jìn)而可求a_n²，且可得數(shù)列{a_n²}是以4為首項(xiàng)，以4為公比的等比數(shù)列，由等比數(shù)列的求和公式可求

解答 解：當(dāng)n=1時，a₁=S₁=$\frac{4}{3}$（a₁-1），則a₁=4．
當(dāng)n≥2時，∵${S_n}=\frac{4}{3}（{a_n}-1）$，①
∴S_n-1=$\frac{4}{3}$（a_n-1-1），②
由①-②，得
a_n=$\frac{4}{3}$a_n-$\frac{4}{3}$a_n-1，則$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}$=4（n≥2），
∴{a_n}是一個以4為首項(xiàng)，4為公比的等比數(shù)列，
則a_n=4ⁿ．
∴數(shù)列{a_n²}是以16為首項(xiàng)，以16為公比的等比數(shù)列，
由等比數(shù)列的求和公式可得，T_n=$\frac{16（1-1{6}^{n}）}{1-16}$=$\frac{{1{6^{n+1}}-16}}{15}$．
故答案是：$\frac{{1{6^{n+1}}-16}}{15}$．

點(diǎn)評 本題主要考查了等比數(shù)列的通項(xiàng)公式的求解，等比數(shù)列的性質(zhì)的應(yīng)用，等比數(shù)列的求和公式的應(yīng)用，屬于基本知識的綜合應(yīng)用．