Question

已知如圖1正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1，AC∩BD=O．將正方形ABCD沿對(duì)角線BD折起，使AC=1，得到三棱錐A-BCD，如圖2所示．
（1）求證：AO⊥平面BCD；
（2）求三棱錐A-OCD的體積；
（3）求二面角A-BC-D的余弦．

Answer 1

考點(diǎn)：與二面角有關(guān)的立體幾何綜合題,棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積,直線與平面垂直的判定

專(zhuān)題：綜合題,空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（1）先證明AO⊥CO，由正方形的性質(zhì)可得AO⊥BD，根據(jù)線面垂直的判定定理，可得AO⊥平面BCD．
（2）三棱錐A-OCD的體積V=

1

3

S△OBC•OA，可得結(jié)論；
（3）由（1）知AO⊥平面BCD，則OC，OA，OD兩兩互相垂直，以O(shè)為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系O-xyz，分別求出平面ABC和平面BCD的法向量，代入向量夾角公式，即可得到二面角A-BC-D的余弦值．

解答： （1）證明：依題，折后AC=1，AO=CO=

2

2

，∴AC²=AO²+CO²，
∴AO⊥CO．
又∵AC、BD是正方形ABCD的對(duì)角線，
∴AO⊥BD，
又BD∩CO=O，∴AO⊥平面BCD；
（2）解：三棱錐A-OCD的體積V=

1

3

S△OBC•OA=

1

3

×

1

4

×

2

2

=

2

24

；
（3）解：由（1）知，AO⊥平面BCD，則OC，OA，OD兩兩互相垂直，如圖，以O(shè)為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系

則O（0，0，0），A（0，0，

2

2

），C（

2

2

，0，0），B（0，-

2

2

，0），D（0，

2

2

，0）
∴

OA

=（0，0，

2

2

）是平面BCD的一個(gè)法向量，

AC

=（

2

2

，0，-

2

2

），

BC

=（

2

2

，

2

2

，0），
設(shè)平面ABC的法向量為

n

=（x，y，z），可得

2 2 x+ 2 2 y=0 2 2 x- 2 2 z=0

所以可取

n

=（1，-1，1）．
從而cos＜

n

，

OA

＞=

3

3

，
∴二面角A-BC-D的余弦值為

3

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是用空間向量求平面間的夾角，直線與平面垂直的判定，解題的關(guān)鍵是分別求出平面ABC和平面BCD的法向量，屬于中檔題．