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5.如圖,已知橢圓C:x2a2+y22=1(a>b>0)的左焦點(diǎn)為F,點(diǎn)P為橢圓C上任意一點(diǎn),且|PF|的最小值為2-1,離心率為22,直線l與橢圓C交于不同兩點(diǎn)A、B(A、B都在x軸上方),且∠OFA+∠OFB=180°.
(Ⅰ)求橢圓C的方程;
(Ⅱ)當(dāng)A為橢圓與y軸正半軸的交點(diǎn)時(shí),求直線l的方程;
(Ⅲ)對于動(dòng)直線l,是否存在一個(gè)定點(diǎn),無論∠OFA如何變化,直線l總經(jīng)過此定點(diǎn)?若存在,求出該定點(diǎn)的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.

分析 (Ⅰ)設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為:x2a2+y22=1(a>b>0),由離心率為22,點(diǎn)P為橢圓C上任意一點(diǎn),且|PF|的最小值為2-1,求出a2=2,b2=1,由此能求出橢圓C的方程.
(Ⅱ)由題意A(0,1),F(xiàn)(-1,0),得kAF=1001=1,從而kBF=-1,進(jìn)而直線BF為:y=-x-1,代入x22+y2=1,得3x2+4x=0,由此能求出直線AB的方程.
(Ⅲ)由∠OFA+∠OFB=180°,知B在于x軸的對稱點(diǎn)B1在直線AF上,設(shè)直線AF的方程為:y=k(x+1),由{y=kx+1x22+y2=1,得(k2+12)x2+2k2x+k2-1=0,由此利用韋達(dá)定理、直線的斜率、直線方程,結(jié)合已知條件能求出對于動(dòng)直線l,存在一個(gè)定點(diǎn)M(-2,0),無論∠OFA如何變化,直線l總經(jīng)過此定點(diǎn).

解答 解:(Ⅰ)設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為:x2a2+y22=1(a>b>0),
∵離心率為22,∴e2=c2a2=a22a2=12,∴a=2b
∵點(diǎn)P為橢圓C上任意一點(diǎn),且|PF|的最小值為2-1,
∴c=1,∴a2=b2+c2=b2+1,
解得a2=2,b2=1,
∴橢圓C的方程為x22+y2=1.
(Ⅱ)由題意A(0,1),F(xiàn)(-1,0),
∴kAF=1001=1,
∵∠OFA+∠OFB=180°.∴kBF=-1,
∴直線BF為:y=-(x+1)=-x-1,
代入x22+y2=1,得3x2+4x=0,解得x=0或x=-43,
代入y=-x-1,得{x=0y=1,舍,或{x=43y=13,∴B(-43,13).
kAB=113043=12,∴直線AB的方程為:y=12x+1
(Ⅲ)存在一個(gè)定點(diǎn)M(-2,0),無論∠OFA如何變化,直線l總經(jīng)過此定點(diǎn).
證明:∵∠OFA+∠OFB=180°,∴B在于x軸的對稱點(diǎn)B1在直線AF上,
設(shè)直線AF的方程為:y=k(x+1),
代入{y=kx+1x22+y2=1,得(k2+12)x2+2k2x+k2-1=0,
由韋達(dá)定理得x1+x2=2k2k2+12x1x2=k21k2+12,
由直線AB的斜率kAB=y1y2x1x2,得AB的方程為:y-y1=y1y2x1x2(x-x1
令y=0,得:
x=x1-y1x1x2y1y2=x2y1x1y2y1y2,
y1=k(x1+1),-y2=k(x2+1),
x=x2y1x1y2y1y2=x2×kx1+1+x1×kx2+1kx1+1+kx2+1=2x1x2+x1+x2x1+x2+2
=≥2×k21k2+122k2k2+1222k2k2+12=-2,
∴對于動(dòng)直線l,存在一個(gè)定點(diǎn)M(-2,0),無論∠OFA如何變化,直線l總經(jīng)過此定點(diǎn).

點(diǎn)評 本題考查橢圓方程的求法,考查直線方程的求法,考查直線是否過定點(diǎn)的判斷與求法,是中檔題,解題時(shí)要認(rèn)真審題,注意橢圓性質(zhì)的合理運(yùn)用.

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