Question

13．已知函數(shù)y=5cos（$\frac{2k+1}{3}$πx-$\frac{π}{6}$）（其中k∈N），對(duì)任意實(shí)數(shù)a，在區(qū)間[a，a+3]上要使函數(shù)值$\frac{5}{4}$出現(xiàn)的次數(shù)不少于4次且不多于8次，則k值為（　　）

• A． 2或3
• B． 4或3
• C． 5或3
• D． 8或3

Answer 1

分析 根據(jù)題意，可得cos（$\frac{2k+1}{3}$πx-$\frac{π}{6}$）=$\frac{1}{4}$，由余弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)得：當(dāng)長(zhǎng)度為3的區(qū)間大于2個(gè)周期且小于4個(gè)周期時(shí)，可使區(qū)間[a，a+3]上函數(shù)值出現(xiàn)的次數(shù)不少于4次且不多于8次，由此建立關(guān)于k的不等式并解之，即可得到整數(shù)k的值．

解答 解：令y=5cos（$\frac{2k+1}{3}$πx-$\frac{π}{6}$）=$\frac{5}{4}$，
得cos（$\frac{2k+1}{3}$πx-$\frac{π}{6}$）=$\frac{1}{4}$；
∵函數(shù)y=cosx在每個(gè)周期內(nèi)出現(xiàn)函數(shù)值為$\frac{1}{4}$的有兩次，而區(qū)間[a，a+3]長(zhǎng)度為3，
∴為了使長(zhǎng)度為3的區(qū)間內(nèi)出現(xiàn)函數(shù)值$\frac{1}{4}$不少于4次且不多于8次，
必須使3不小于2個(gè)周期長(zhǎng)度且不大于4個(gè)周期長(zhǎng)度；
即2×$\frac{2π}{\frac{2k+1}{3}π}$≤3且4×$\frac{2π}{\frac{2k+1}{3}π}$≥3，
解之得$\frac{3}{2}$≤k≤$\frac{7}{2}$；
又k∈N，故k值為2或3．
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)的應(yīng)用問(wèn)題，也考查了不等式的解法與應(yīng)用問(wèn)題，是基礎(chǔ)題．