Question

設f(x)=x(

1

2x-1

+

1

2

)，
（1）求函數f（x）的定義域；
（2）證明：對于任意非零實數都有f（x）＞0．

Answer 1

考點：函數恒成立問題,函數的定義域及其求法

專題：函數的性質及應用

分析：（1）函數有意義則分母2^x-1≠0得其定義域，（2）當x＞0時明顯成立，當x＜0時，先證f（-x）=f（x），函數為奇函數，然后由-x＞0轉化求解．

解答： 解：（1）由2^x-1≠0得x≠0，故函數f（x）的定義域是（-∞，0）∪（0，+∞）
（2）證明：當x＞0時，因為2^x＞1，顯然f（x）＞0
因為f(-x)=-x(

1

2-x-1

+

1

2

)=-x(

2x

1-2x

+

1

2

)
=x(

2x

2x-1

-

1

2

)=x(

2x-1+1

2x-1

-

1

2

)=x(

1

2x-1

+

1

2

)
=f（x）
所以，當x＜0時，-x＞0，故f（x）=f（-x）＞0
綜上，f（x）＞0，命題得證．

點評：本題考察函數的定義域及其求法以及利用函數性質求證不等式，難點在證明中利用分類討論和函數的奇偶性求證．