Question

20．已知a²-a＜2，且a∈N^*，求函數(shù)f（x）=x+$\frac{2a}{x}$的值域．

Answer 1

分析 由不等式解出a的值，代入函數(shù)f（x），利用基本不等式的性質(zhì)可得值域．

解答 解：由題意：a²-a＜2，
解得：-1＜a＜2
∵a∈N^*，
∴a=1，
則函數(shù)f（x）=$x+\frac{2}{x}$，
當(dāng)x＞0時(shí)，$x+\frac{2}{x}$≥2$\sqrt{x•\frac{2}{x}}$=$2\sqrt{2}$，（當(dāng)且僅當(dāng)x=$\sqrt{2}$時(shí)取等號(hào)）
當(dāng)x＜0時(shí)，$x+\frac{2}{x}$≤-2$\sqrt{x•\frac{2}{x}}$=-$2\sqrt{2}$，（當(dāng)且僅當(dāng)x=-$\sqrt{2}$時(shí)取等號(hào)）
故得函數(shù)函數(shù)f（x）=$x+\frac{2}{x}$的值域?yàn)椋?∞，$-2\sqrt{2}$]∪[$2\sqrt{2}$，+∞），

點(diǎn)評(píng) 本題考查了不等式的解法，利用利用基本不等式的性質(zhì)求值域．屬于基礎(chǔ)題．