Question

【題目】已知，，其中均為實數(shù).

（I）求的極值；

（II）設(shè)，，求證：對，恒成立.

（III）設(shè)，若對給定的，在區(qū)間上總存在使得成立，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（I）極大值，無極小值；（II）證明見解析；（III）.

【解析】

試題分析：（I）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)函數(shù)的符號判斷函數(shù)的單調(diào)性，然后求解極值；（II）通過，，化簡，利用函數(shù)的單調(diào)性，轉(zhuǎn)化原不等式轉(zhuǎn)化，構(gòu)造函數(shù)，利用新函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的單調(diào)性，證不等式成立；（III）由（1）得的最大值，求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，判斷，不滿足題意；當(dāng)時，要使得，的極值點必在區(qū)間內(nèi)，求出的范圍，當(dāng)，利用在上的值域包含于在和上的值域，推出關(guān)系式，通過構(gòu)造函數(shù)，通過導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)的最值，然后推出.

試題解析：（I）∵，∴，∴，，∴極大值，無極小值；

（II）∵，，

∴，在上是增函數(shù).

∴，在上是增函數(shù).

設(shè)，則原不等式轉(zhuǎn)化為，

即.

令，

即證，，即在，

∵在恒成立，

即在，即所證不等式成立.

（III）由（I）得在，，，

所以.

又，當(dāng)時，，在，不符合題意.

當(dāng)時，要使得，

那么由題意知的極值點必在區(qū)間內(nèi)，即.

得，且函數(shù)在，，

由題意得在上的值域包含于在和上的值域.

∴內(nèi)，.

下面證時，，取，先證，即證.

令，∴，在內(nèi)恒成立.

∴，∴，∴.

再證，∵，∴.