Question

【題目】在直角坐標系中，點，為直線：上的動點，過作的垂線，該垂線與線段的垂直平分線交于點，記的軌跡為.

(1)求的方程；

(2)若過的直線與曲線交于，兩點，直線，與直線分別交于，兩點，試判斷以為直徑的圓是否經(jīng)過定點？若是，求出定點坐標；若不是，請說明理由.

Answer 1

【答案】(1)；(2)是，和.

【解析】

(1)根據(jù)拋物線的定義直接判定求解方程即可.

(2)設(shè)直線的方程為,聯(lián)立與拋物線的方程,再根據(jù)韋達定理求得以為直徑的圓的方程,進而化簡求解定點即可.

(1)連接,則,

則根據(jù)拋物線的定義,

點的軌跡是以為焦點,直線為準線的拋物線.

則點的軌跡的方程為.

(2)設(shè)直線的方程為,,,

聯(lián)立整理得：,

,

,,

直線的方程為,

同理：直線的方程為,

令得,,,

設(shè)中點的坐標為,則,,

所以.

.

圓的半徑為.

所以以為直徑的圓的方程為.

展開可得,

令,可得,解得或.

所以以為直徑的圓經(jīng)過定點和.

(2)①當直線不與軸垂直時,設(shè)其方程為,,,

由得,,

所以,

,.

所以,

,

直線的方程為,同理可得,直線的方程為,

令得,,,

所以以為直徑的圓的方程為,

即,

即,

令,可得,解得或.

所以以為直徑的圓經(jīng)過定點和.

②當直線與軸垂直時,,,以為直徑的圓的方程為

,也經(jīng)過點和.

綜上,以為直徑的圓經(jīng)過定點和.