Question

【題目】某校從高二年級(jí)學(xué)生中隨機(jī)抽取40名學(xué)生，將他們的期中考試數(shù)學(xué)成績(jī)（滿分100分，成績(jī)均為不低于40分的整數(shù)）分成六段：[40，50），[50，60），[90，100]后得到如圖的頻率分布直方圖．
（1）求圖中實(shí)數(shù)a的值；
（2）若該校高二年級(jí)共有學(xué)生640人，試估計(jì)該校高二年級(jí)期中考試數(shù)學(xué)成績(jī)不低于60分的人數(shù)；
（3）若從數(shù)學(xué)成績(jī)?cè)赱40，50）與[90，100]兩個(gè)分?jǐn)?shù)段內(nèi)的學(xué)生中隨機(jī)選取兩名學(xué)生，求這兩名學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)之差的絕對(duì)值不大于10的概率．

Answer 1

【答案】
（1）解：由于圖中所有小矩形的面積之和等于1，

∴10×（0.005+0.01+0.02+a+0.025+0.01）=1．

解得a=0.03

（2）解：根據(jù)頻率分布直方圖，成績(jī)不低于6（0分）的頻率為

1﹣10×（0.005+0.01）=0.85．

由于該校高一年級(jí)共有學(xué)生640人，利用樣本估計(jì)總體的思想，

可估計(jì)該校高一年級(jí)數(shù)學(xué)成績(jī)不低于6（0分）的人數(shù)約為640×0.85=544人

（3）解：成績(jī)?cè)赱40，50）分?jǐn)?shù)段內(nèi)的人數(shù)為40×0.05=2人，分別記為A，B．

成績(jī)?cè)赱90，100]分?jǐn)?shù)段內(nèi)的人數(shù)為40×0.1=4人，分別記為C，D，E，F(xiàn)．（7分）

若從數(shù)學(xué)成績(jī)?cè)赱40，50）與[90，100]兩個(gè)分?jǐn)?shù)段內(nèi)的學(xué)生中隨機(jī)選取兩名學(xué)生，

則所有的基本事件有：（A，B），（A，C），（A，D），（A，E），（A，F(xiàn)），（B，C），（B，D），

（B，E），（B，F(xiàn)），（C，D），（C，E），（C，F(xiàn)），（D，E），（D，F(xiàn)），（E，F(xiàn)）共15種．（9分）

如果兩名學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)都在[40，50）分?jǐn)?shù)段內(nèi)或都在[90，100]分?jǐn)?shù)段內(nèi)，

那么這兩名學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)之差的絕對(duì)值一定不大于10．

如果一個(gè)成績(jī)?cè)赱40，50）分?jǐn)?shù)段內(nèi)，另一個(gè)成績(jī)?cè)赱90，100]分?jǐn)?shù)段內(nèi)，

那么這兩名學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)之差的絕對(duì)值一定大于10．

記“這兩名學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)之差的絕對(duì)值不大于10”為事件M，

則事件M包含的基本事件有：

（A，B），（C，D），（C，E），（C，F(xiàn)），（D，E），（D，F(xiàn)），（E，F(xiàn)）共7種．

所以所求概率為P（M）=

【解析】（1）根據(jù)陰影矩形的面積之和等于1，計(jì)算a的值；（2）首先計(jì)算成績(jī)不低于60分的頻率，即后四個(gè)小矩形的面積和，然后用640×頻率計(jì)算人數(shù)；（3）若兩名學(xué)生的學(xué)生成績(jī)之差的絕對(duì)值不大于10，即兩人是同一組的學(xué)生，那么首先計(jì)算兩組的人數(shù)，并編號(hào)，并以編號(hào)的形式列出所有選取2人的基本事件的個(gè)數(shù)，同時(shí)計(jì)算同一組的兩個(gè)人的所有基本事件的個(gè)數(shù)，最后相除得到概率．
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解頻率分布直方圖的相關(guān)知識(shí)，掌握頻率分布表和頻率分布直方圖，是對(duì)相同數(shù)據(jù)的兩種不同表達(dá)方式.用緊湊的表格改變數(shù)據(jù)的排列方式和構(gòu)成形式，可展示數(shù)據(jù)的分布情況.通過作圖既可以從數(shù)據(jù)中提取信息，又可以利用圖形傳遞信息．