設(shè)函數(shù)f(x)=x3+ax2-a2x+m(a>0)
(Ⅰ)若a=1時(shí)函數(shù)f(x)有三個(gè)互不相同的零點(diǎn),求m的范圍;
(Ⅱ)若函數(shù)f(x)在[-1,1]內(nèi)沒有極值點(diǎn),求a的范圍;
(Ⅲ)若對(duì)任意的a∈{3,6},不等式f(x)≤1在x∈[-2,2]上恒成立,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.
考點(diǎn):利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值
專題:計(jì)算題,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用
分析:(Ⅰ)運(yùn)用分離參數(shù),得到m=-x3-x2+x有三個(gè)互不相同的實(shí)數(shù)根.令g(x)=-x3-x2+x,求出極值,只要m介于極大和極小之間即可;
(Ⅱ)原問題等價(jià)為方程f′(x)=3x2+2ax-a2=0在[-1,1]上沒有實(shí)數(shù)根,運(yùn)用二次方程實(shí)根分布的知識(shí),即可得到;
(Ⅲ)原問題轉(zhuǎn)化為對(duì)任意的a∈{3,6},不等式f(x)max≤1在x∈[-2,2]上成立,運(yùn)用導(dǎo)數(shù)求出f(x)在[-2,2]上的最值即可.
解答: 解:(Ⅰ)當(dāng)a=1時(shí)f(x)=x3+x2-x+m,
∵f(x)有三個(gè)互不相同的零點(diǎn),所以f(x)=x3+x2-x+m,
即m=-x3-x2+x有三個(gè)互不相同的實(shí)數(shù)根.
令g(x)=-x3-x2+x,則g′(x)=-3x2-2x+1=(x+1)(-3x+1).
∵g(x)在(-∞,-1)和(
1
3
,+∞)均為減函數(shù),在(-1,
1
3
)為增函數(shù),
則g(-1)為極小值且為-1,g(
1
3
)為極大且為
5
27

∴m的取值范圍(-1,
5
27
);
(Ⅱ)由題可知,函數(shù)f(x)在[-1,1]內(nèi)沒有極值點(diǎn)等價(jià)為
方程f′(x)=3x2+2ax-a2=0在[-1,1]上沒有實(shí)數(shù)根,
f′(1)=3+2a-a2≤0
f′(-1)=3-2a-a2≤0
a>0
,∴a≥3;
(Ⅲ)∵f′(x)=3x2+2ax-a2=3(x-
a
3
)(x+a),且a>0,
∴函數(shù)f(x)的遞減區(qū)間為(-a,
a
3
),遞增區(qū)間為(-∞,-a)和(
a
3
,+∞);
當(dāng)a∈[3,6]時(shí),
a
3
∈[1,2],-a≤-3,又x∈[-2,2],
∴f(x)max=max{f(-2),f(2)}而f(2)-f(-2)=16-4a2<0,
∴f(x)max=f(-2)=-8+4a+2a2+m,
又∵f(x)≤1在x∈[-2,2]上恒成立,
∴f(x)max≤1,即-8+4a+2a2+m≤1即m≤9-4a-2a2在a∈[3,6]恒成立.
∵9-4a-2a2的最小值為-87,
∴m≤-87.
點(diǎn)評(píng):本題考查導(dǎo)數(shù)在函數(shù)中的綜合應(yīng)用:求單調(diào)區(qū)間、求最值,考查二次方程實(shí)根的分布,以及不等式恒成立問題,轉(zhuǎn)化為求最值問題,屬于中檔題.
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已知函數(shù)f(x)=alnx+bx(a,b∈R)在點(diǎn)(1,f(1))處的切線方程為x-2y-2=0.
(1)求a,b的值;
(2)當(dāng)x>1時(shí),f(x)+
k
x
<0恒成立,求實(shí)數(shù)k的取值范圍;
(3)證明:當(dāng)n∈N*,且n≥2時(shí),
1
2ln2
+
1
3ln3
+…+
1
nlnn
3n2-n-2
2n2+2n

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已知函數(shù)f(x)=ln(2-x)+ax,a>0,a∈R.
(1)設(shè)曲線y=f(x)在點(diǎn)(1,f(1))處的切線l平行于x軸,求a的值;
(2)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(3)求函數(shù)f(x)的區(qū)間[0,1]上的最小值.

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設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,已知a1=a(a≠3,a∈R),an+1=Sn+3n,n∈N*
(Ⅰ)設(shè)bn=Sn-3n ,n∈N*,求{bn}的通項(xiàng)公式;
(Ⅱ)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(Ⅲ)若an+1≥a,n∈N*,求a的取值范圍.

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已知函數(shù)f(x)=alnx-x+
1
x
,g(x)=x2+x-b,y=f(x)圖象恒過定點(diǎn)P,且P點(diǎn)既在y=g(x)圖象上,又在y=f(x)的導(dǎo)函數(shù)的圖象上.
(1)求a,b的值;
(2)設(shè)h(x)=
f(x)
g(x)
,求證:當(dāng)x>0且x≠1時(shí),h(x)<0.

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設(shè)數(shù)列{an}的首項(xiàng)a1=1,前n項(xiàng)和Sn滿足關(guān)系式:3tSn-(2t+3)Sn-1=3t(其中t>0,n=2,3,4,…)
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(Ⅱ)設(shè)數(shù)列{an}的公比為f(t),作數(shù)列{bn},使b1=1,bn=f
1
bn-1
)(n=2,3,4…),求數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式bn
(Ⅲ)設(shè)Tn=b1b2-b2b3+b3b4 -b4b5+…+b2n-1b2n-b2nb2n+1,求Tn

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袋中有一元人民幣兩枚,現(xiàn)依次有放回地隨機(jī)摸取3次,每次摸一枚硬幣.
(1)試問,一共有多少種不同的結(jié)果,列出所有可能的結(jié)果(其中正面朝上與反面朝上是不同的結(jié)果)
(2)若摸到正面朝上時(shí)得2分,摸到反面朝上得1分,求3次摸得總分為5分的概率.

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x2
a2
+
y2
b2
=1長(zhǎng)軸的左、右端點(diǎn),點(diǎn)F是橢圓的右焦點(diǎn),其中A(-6,0),F(xiàn)(4,0)點(diǎn)P在橢圓上且位于x軸上方,
PA
PF
=0.
(Ⅰ)求橢圓的方程和離心率;
(Ⅱ)求點(diǎn)P的坐標(biāo);
(Ⅲ)設(shè)M(m,0)是橢圓長(zhǎng)軸AB上的一點(diǎn),M到直線AP的距離等于|m-6|,求橢圓上的點(diǎn)到點(diǎn)M的距離d的最小值.

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在△ABC中,a,b,c分別是角A,B,C的對(duì)邊,已知a=
3
,b=3,C=30°,則c=
 

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