已知四棱錐P-ABCD中，PA=AB，PA⊥底面ABCD，ABCD是平行四邊形，且∠BAC=90°．
（Ⅰ）求證：PB⊥AC；
（Ⅱ）若點(diǎn)E是線段PD上一點(diǎn)，且滿足
PE
=2
ED
．求二面角E-AC-B的余弦值．
考點(diǎn)：用空間向量求平面間的夾角
專題：綜合題,空間位置關(guān)系與距離,空間角
分析：（Ⅰ）證明AC⊥平面PAB，可得PB⊥AC；
（Ⅱ）過點(diǎn)E作EO⊥AD于點(diǎn)O，則EO⊥平面ABCD，EO⊥AC．過點(diǎn)O作OG⊥AC于G，則AC⊥平面EOG，所以∠EGO即是所求二面角的平面角的補(bǔ)角．
解答： 解：（Ⅰ）∵PA⊥底面ABCD，∴PA⊥AC，-----（2分）
∵AB⊥AC，PA∩AB=A．----（4分）
∴AC⊥平面PAB，
∴PB⊥AC．------（6分）
（Ⅱ）過點(diǎn)E作EO⊥AD于點(diǎn)O，則EO⊥平面ABCD，
∴EO⊥AC．
過點(diǎn)O作OG⊥AC于G，則AC⊥平面EOG．------（8分）
則∠EGO即是所求二面角的平面角的補(bǔ)角．-------（10分）
設(shè)PA=3，在直角三角形EOG中，EO=1，OG=2，EG=
5

∴cos∠EOG=
OG
EG
=
2
5
5
．----（13分）
∴二面角E-AC-B的余弦值是-
2
5
5
．-----------（14分）
點(diǎn)評：本題考查線面垂直的判定與性質(zhì)，考查二面角E-AC-B的余弦值，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)y=f（x）是R上的奇函數(shù)，且當(dāng)x∈[0，+∞）時(shí)，f（x）=x（1-x），則當(dāng)x∈（-∞，0）時(shí)，函數(shù)f（x）的表達(dá)式為
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

用數(shù)學(xué)歸納法證明：
1
n+1
+
1
n+2
+
1
n+3
+…+
1
3n+1
＞
25
24
（n∈N+）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

定義在（-1，1）上的函數(shù)f（x）滿足：①f（x）=2f（x-1）+1；②當(dāng)-1＜x≤0，f（x）=x2-ax-a，其中常數(shù)a＞0
（1）若a=1，求f（
1
2
），f（1）的值；
（2）當(dāng)0＜x＜1時(shí)，求f（x）的解析式；
（3）討論函數(shù)f（x）在（-1，1）上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

求函數(shù)f（x）=log2x-x+2的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)過點(diǎn)A(1，
3
2
)，離心率為
1
2
，左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，過F1的直線交橢圓于A，B兩點(diǎn)．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）當(dāng)△F2AB的面積為
12
2
7
時(shí)，求直線的方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)F1、F2分別為雙曲線C：
x2
a2
-
y2
b2
=1（a，b＞0）的左右焦點(diǎn)，A為雙曲線的左頂點(diǎn)，以F1F2為直徑的圓交雙曲線某條漸近線于M、N兩點(diǎn)，且滿足∠MAN=120°，則該雙曲線的離心率為
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

若
2cosα-sinα＞0
cosα-2sinα＜0
，則cosα+sinα的取值范圍是
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

過定點(diǎn)P（2，1），且傾斜角是直線l：x-y-1=0的傾斜角兩倍的直線方程為（　　）
A、x-2y-1=0
B、2x-y-1=0
C、y-1=2（x-2）
D、x=2

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