Question

用數(shù)學(xué)歸納法證明：

1

n+1

+

1

n+2

+

1

n+3

+…+

1

3n+1

＞

25

24

（n∈N₊）

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)學(xué)歸納法,綜合法與分析法(選修）

專題：點(diǎn)列、遞歸數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法,推理和證明

分析：先證明n=1時(shí)，不等式成立，再假設(shè)n=k時(shí)，不等式成立，進(jìn)而證明出n=k+1時(shí)，不等式也成立，即可得到結(jié)論．

解答： 證明：（1）當(dāng)n=1時(shí)，左邊=

1

2

+

1

3

+

1

4

=

13

12

=

26

24

＞

25

24

，不等式成立；
（2）假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)，不等式成立，即

1

k+1

+

1

k+2

+…+

1

3k+1

＞

25

24

．
則當(dāng)n=k+1時(shí)，
左邊=

1

k+2

+

1

k+3

+…+

1

3k+1

+

1

3k+2

+

1

3k+3

+

1

3k+4

=

1

k+1

+

1

k+2

+…+

1

3k+1

+

1

k+2

+

1

k+3

+…+

1

3k+2

+

1

3k+3

+

1

3k+4

-

1

k+1

＞

25

24

+

1

3k+2

+

1

3k+3

+

1

3k+4

-

1

k+1

，
∵

1

3k+2

+

1

3k+3

+

1

3k+4

-

1

k+1

=

1

3k+2

+

1

3k+4

-

2

3k+3

=

6(k+1)

9k2+18k+8

-

2

3k+3

＞0
∴

1

k+2

+

1

k+3

+…+

1

3k+1

+

1

3k+2

+

1

3k+3

+

1

3k+4

＞

25

24

這就是說當(dāng)n=k+1時(shí)不等式也成立．
由（1）（2）知，對(duì)一切n∈N₊，結(jié)論成立．

點(diǎn)評(píng)：數(shù)學(xué)歸納法常常用來證明一個(gè)與自然數(shù)集N相關(guān)的性質(zhì)，其步驟為：設(shè)P（n）是關(guān)于自然數(shù)n的命題，若1）（奠基） P（n）在n=1時(shí)成立；2）（歸納） 在P（k）（k為任意自然數(shù)）成立的假設(shè)下可以推出P（k+1）成立，則P（n）對(duì)一切自然數(shù)n都成立．