Question

【題目】設(shè).

（1）討論f(x)的單調(diào)性；

（2）當(dāng)x>0時(shí)，f(x)>0恒成立，求k的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）答案見解析（2）

【解析】

（1）求函數(shù)導(dǎo)數(shù)，根據(jù)的取值范圍分類討論即可求出函數(shù)的單調(diào)性；

（2）由（1）求函數(shù)在時(shí)的最小值，問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最小值大于0恒成立，根據(jù)函數(shù)單調(diào)性，分類討論求函數(shù)的最小值，并判定最小值與0的大小關(guān)系即可求解.

（1），

，

①當(dāng)時(shí)，即時(shí)，，

在上是減函數(shù)；

②當(dāng)時(shí)，即時(shí)，

由，

解得，

當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，

在單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，

綜上，時(shí)，函數(shù)在上是減函數(shù)，無單調(diào)增區(qū)間；

時(shí)，函數(shù)在單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.

（2）由（1）知，

若時(shí)，在無最小值，所以f(x)>0不恒成立；

若時(shí)，

①當(dāng)時(shí)，，

所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，

所以，

即當(dāng)x>0時(shí)，f(x)>0恒成立；

②當(dāng)時(shí)，，

函數(shù)在遞減，在上遞增，

所以當(dāng)時(shí)，

，

只需即可，

令，，

則，

所以在上是增函數(shù)，

故，

即無解，

所以時(shí)，f(x)>0不恒成立。

綜上，k的取值范圍為.