Question

【題目】如圖，四棱錐中，底面是菱形,是的中點(diǎn)，點(diǎn)在側(cè)棱上．

（1）求證：平面；

（2）若是的中點(diǎn)，求證：平面；

（3）若，試求的值．

Answer 1

【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）證明見(jiàn)解析；（3）.

【解析】

試題分析：（1）由線(xiàn)面垂直判定定理，要證線(xiàn)面垂直，需證垂直平面內(nèi)兩條相交直線(xiàn)，由，是的中點(diǎn)，易得垂直于，再由底面是菱形，得三角形為正三角形，所以垂直于，（2）由線(xiàn)面平行判定定理，要證線(xiàn)面平行，需證平行于平面內(nèi)一條直線(xiàn)，根據(jù)是的中點(diǎn)，聯(lián)想到取AC中點(diǎn)O所以OQ為△PAC中位線(xiàn)．所以OQ // PA注意在寫(xiě)定理?xiàng)l件時(shí)，不能省，要全面.例如，線(xiàn)面垂直判定定理中有五個(gè)條件，線(xiàn)線(xiàn)垂直兩個(gè)，相交一個(gè)，線(xiàn)在面內(nèi)兩個(gè)；線(xiàn)面平行判定定理中有三個(gè)條件，平行一個(gè)，線(xiàn)在面內(nèi)一個(gè)，線(xiàn)在面外一個(gè)，（3）研究體積問(wèn)題關(guān)鍵在于確定高，由于兩個(gè)底面共面，所以求的值就轉(zhuǎn)化為求對(duì)應(yīng)高的長(zhǎng)度比.

試題解析：（1）因?yàn)?/span>E是AD的中點(diǎn)，PA=PD，所以AD⊥PE．

因?yàn)榈酌?/span>ABCD是菱形，∠BAD=，所以AB=BD，又因?yàn)?/span>E是AD的中點(diǎn)，所以 AD⊥BE．

因?yàn)?/span>PE∩BE=E，所以AD⊥平面PBE． 4分

（2）連接AC交BD于點(diǎn)O，連結(jié)OQ．因?yàn)?/span>O是AC中點(diǎn)，

Q是PC的中點(diǎn)，所以OQ為△PAC中位線(xiàn)．所以OQ//PA． 7分

因?yàn)?/span>PA平面BDQ，OQ平面BDQ．所以PA//平面BDQ． 9分

（3）設(shè)四棱錐P-BCDE，Q-ABCD的分別為，，所以VP-BCDE=SBCDE，VQ-ABCD=SABCD． 10分

因?yàn)?/span>VP-BCDE=2VQ-ABCD，且底面積SBCDE=SABCD． 12分

所以，因?yàn)?/span>，所以． 14分