Question

已知函數(shù)f（x）=ln（1+x）-x+

k

2

x²，（k＞0，且k≠1）．
（Ⅰ）當(dāng)k=2時(shí)，求曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程；
（Ⅱ）求f（x）的單調(diào)減區(qū)間；
（Ⅲ）當(dāng)k=0時(shí)，設(shè)f（x）在區(qū)間[0，n]（n∈N^*）上的最小值為b_n，令a_n=ln（1+n）-b_n，
求證：

a1

a2

+

a1a3

a2a4

+…+

a1a3…a2n-1

a2a4..a2n

＜

2an+1

-1，（n∈N^*）．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：綜合題,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（Ⅰ）當(dāng)k=2時(shí)，求導(dǎo)數(shù)，可得切線斜率，求出切點(diǎn)坐標(biāo)，即可求曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程；
（Ⅱ）分類討論，利用導(dǎo)數(shù)小于0，即可求f（x）的單調(diào)減區(qū)間；
（Ⅲ）確定a_n=ln（1+n）-b_n=n，再證明

a1a3…a2n-1

a2a4..a2n

=

1×3×5×…×(2n-1)

2×4×6×…2n

＜

1

2n+1

＜

2

2n+1 + 2n-1

=

2n+1

-

2n-1

，疊加，即可證明結(jié)論．

解答： （Ⅰ）解：當(dāng)k=2時(shí)，f（x）=ln（1+x）-x+x²，
∴f′（x）=

1

1+x

-1+2x
∴f′（1）=

3

2

，f（1）=ln2，
∴曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程為：y-ln2=

3

2

（x-1）
即3x-2y+2ln2-3=0；
（Ⅱ）解：f′（x）=

x(kx+k-1)

1+x

（x＞-1）．
①k=0時(shí)，f′（x）=-

x

1+x

＜0，則x＞0，∴f（x）的單調(diào)減區(qū)間為（0，+∞）；
②

1-k

k

＞0即0＜k＜1時(shí)，f′（x）＜0，可得0＜x＜

1-k

k

，∴f（x）的單調(diào)減區(qū)間為（0，

1-k

k

）；
③

1-k

k

＜0即0k＞1時(shí)，f′（x）＜0，可得

1-k

k

＜x＜0，∴f（x）的單調(diào)減區(qū)間為（

1-k

k

，0）；
（Ⅲ）證明：當(dāng)k=0時(shí)，f（x）在[0，n]上單調(diào)遞減，
∴b_n=f（n）=ln（1+n）-n，
∴a_n=ln（1+n）-b_n=n，
∴

a1a3…a2n-1

a2a4..a2n

=

1×3×5×…×(2n-1)

2×4×6×…2n

＜

1

2n+1

＜

2

2n+1 + 2n-1

=

2n+1

-

2n-1

，
∴

a1

a2

+

a1a3

a2a4

+…+

a1a3…a2n-1

a2a4..a2n

＜（

3

-1）+（

5

-

3

）+…+（

2n+1

-

2n-1

）=

2n+1

-1
=

2an+1

-1．

點(diǎn)評(píng)：本題考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用，考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，考查函數(shù)的單調(diào)性，考查不等式的證明，正確求導(dǎo)數(shù)是關(guān)鍵．