Question

設F是拋物線C:y²=4x的焦點，過點A(-1，0)的直線l與拋物線C相交于M、N兩點．

(Ⅰ)求線段MN的中點軌跡方程；

(Ⅱ)若，求λ的取值范圍．

Answer 1

解：設l的方程為  y=k(x+1)

由

得k²x²+(2k²-4)x+k²=0

因為l與C有兩個不同的交點，所以

解之得-1＜k＜1，且k≠0.

(Ⅰ)設M(x₁，y₁)、N(x₂，y₂)，則

x₁+x₂=,x₁x₂=1

設MN的中點P(x，y)，則x

又y=k(x+1)  消去k得y²=2(x+1) 

∵-1＜k＜1，且k≠0，∴x

∴MN的中點P(x，y)的軌跡方程為y²=2（x+1）（x＞1）

(Ⅱ)由=λ，知（x₁+1，y₁）=λ(x₂+1，y₂)

∴

由②得即4x₁=λ²·4x₂   ∴x₁=λ²x₂     ③

由①，③得λ（λ-1）x₂=λ-1

∵M與N不同    ∴λ≠1

∴x₂=，x₁=λ

于是λ+.

∵0＜k²＜1   ∴＞1；-2＞2

∴λ+＞2  ∴λ＞0且λ≠1

即λ的取值范圍為(0，1)∪(1，+∞).