Question

8．設f（x）=$\frac{1}{3}$x³+3x²+ax，若g（x）=$\frac{1}{{4}^{x}}$，對任意x₁∈[$\frac{1}{2}$，1]，存在x₂∈[$\frac{1}{2}$，2]，使得f′（x₁）≤g（x₂）成立，則實數(shù)a的取值范圍為（　�。�

• A． [-$\frac{11}{4}$，+∞）
• B． （-∞，-$\frac{13}{2}$]
• C． （-∞，-$\frac{11}{4}$]
• D． [-$\frac{13}{2}$，+∞）

Answer 1

分析 由題意，只要f'（x）_max≤g（x）_max，分別求出兩個函數(shù)的最大值，轉(zhuǎn)化為關于a 的不等式求a的范圍．

解答 解：由題意，對任意x₁∈[$\frac{1}{2}$，1]，存在x₂∈[$\frac{1}{2}$，2]，
使得f'（x₁）≤g（x₂）成立，
所以f'（x）_max≤g（x）_max，f'（x）=x²+6x+a=（x+3）²+a-9，在[$\frac{1}{2}$，1]單調(diào)遞增，
∴f'（x）_max=f'（1）=7+a，g（x）在[$\frac{1}{2}$，2]單調(diào)遞減，
則g（x）_max=g（$\frac{1}{2}$）=$\frac{1}{2}$，所以7+a$≤\frac{1}{2}$，則a$≤\frac{1}{2}-7=-\frac{13}{2}$；
所以實數(shù)a的取值范圍為（-$∞，-\frac{13}{2}$）；
故選B．

點評 本題考查了三次函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性以及存在與任意問題的解決辦法；屬于中檔題．