Question

15．已知函數(shù)是定義在[-1，1]上的奇函數(shù)，且f（1）=1，若x，y∈[-1，1]，x+y≠0，則有（x+y）[f（x）+f（y）]＞0
（1）判斷f（x）的單調(diào)性，并加以證明
（2）解不等式f（x+$\frac{1}{2}$）＜f（1-2x）
（3）若f（x）≤m²-2m-2，對(duì)任意的x∈[-1，1]恒成立，求實(shí)數(shù)m的范圍．

Answer 1

分析 （1）任取a，b∈[-1，1]，且a＜b，則b-a＞0，結(jié)合（x+y）[f（x）+f（y）]＞0，判斷出f（b）＞-f（-a），結(jié)合函數(shù)單調(diào)性的定義，可得結(jié)論；
（2）若f（x+$\frac{1}{2}$）＜f（1-2x），則-1≤x+$\frac{1}{2}$＜1-2x≤1，解得原不等式的解集；
（3）f（x）_max=f（1）=1，故m²-2m-2≥1，解得實(shí)數(shù)m的范圍．

解答 解：（1）f（x）是定義在[-1，1]上的增函數(shù)，理由如下：
任取a，b∈[-1，1]，且a＜b，則b-a＞0，
∵（x+y）[f（x）+f（y）]＞0，
∴（b-a）[f（b）+f（-a）]＞0，
即f（b）+f（-a）＞0，
即f（b）＞-f（-a），
∵函數(shù)是定義在[-1，1]上的奇函數(shù)，
∴f（b）＞f（a），
∴f（x）是定義在[-1，1]上的增函數(shù)，
（2）∵f（x+$\frac{1}{2}$）＜f（1-2x），
-1≤x+$\frac{1}{2}$＜1-2x≤1
解得：x∈[0，$\frac{1}{6}$）
（3）∵f（x）在[-1，1]上單調(diào)遞增，
所以f（x）_max=f（1）=1，
即：對(duì)任意的x在[-1，1]上有m²-2m-2≥1成立，
解得：m≥3或m≤-1

點(diǎn)評(píng) 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是抽象函數(shù)的應(yīng)用，函數(shù)的奇偶性與函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)恒成立問(wèn)題，難度中檔．