Question

等差數(shù)列{a_n}的公差為d，前n項(xiàng)和為T(mén)_n，設(shè)C_n=a_n²-a_n+1²
（1）判斷數(shù)列{C_n}是否為等差數(shù)列并說(shuō)明理由；
（2）若a₁+a₃+a₅+…a₂₅=130，a₂+a₄+a₆+…+a₂₆=143-13k（k是常數(shù)），試寫(xiě)出數(shù)列{C_n}的通項(xiàng)公式；
（3）在（2）的條件下，若數(shù)列{C_n}的前n項(xiàng)和S_n，問(wèn)是否存在實(shí)數(shù)k，使得S_n當(dāng)且僅當(dāng)n=12時(shí)取得最大值？若存在，求出k的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：等差數(shù)列的性質(zhì)

專題：計(jì)算題,等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）設(shè){a_n}的公差為d，則c_n+1-c_n=（a_n+1²-a_n+2²）-（a_n²-a_n+1²）=-2d²，所以數(shù)列{c_n}是以-2d²為公差的等差數(shù)列；
（2）由a₁+a₃+…+a₂₅=130a₂+a₄+…+a₂₆=143-13k，知13d=13-13k，d=1-k，由此能導(dǎo)出a_n=a₁+（n-1）d=（1-kn+（13k-3）），由此能求出數(shù)列{c_n}的通項(xiàng)公式；
（3）因?yàn)楫?dāng)且僅當(dāng)n=12時(shí)S_n最大，所以c₁₂＞0，c₁₃＜0，由此能求出k的取值范圍．

解答： 解：（1）設(shè){a_n}的公差為d，則c_n+1-c_n=（a_n+1²-a_n+2²）-（a_n²-a_n+1²）
=2a_n+1²-（a_n+1-d）²-（a_n+1+d）²=-2d²
∴數(shù)列{c_n}是以-2d²為公差的等差數(shù)列；
（2）∵a₁+a₃+…+a₂₅=130a₂+a₄+…+a₂₆=143-13k
∴兩式相減：13d=13-13k，
∴d=1-k，
∴13a₁+

13×12

2

×2d=130，
∴a₁=-2+12k，
∴a_n=a₁+（n-1）d=（1-k）n+（13k-3），
∴c_n=a_n²-a_n+1²=（a_n+a_n+1）（a_n-a_n+1）
=26k²-32+6-（2n+1）（1-k²）
=-2（1-k）²•n+25k²-30k+5；
（3）因?yàn)楫?dāng)且僅當(dāng)n=12時(shí)S_n最大，
∴有c₁₂＞0，c₁₃＜0，
即

-24(1-k)2+25k-30k+5＞0 -26(1-k)2+25k2-30k+5＜0

，
解得

k＞1或k＜-19 k＞21或k＜1

，即有k＞21或k＜-19．
故存在實(shí)數(shù)k，使得S_n當(dāng)且僅當(dāng)n=12時(shí)取得最大值，
k的取值范圍是：k＞21或k＜-19．

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的性質(zhì)和應(yīng)用，解題時(shí)要注意公式的合理運(yùn)用．