Question

已知數(shù)列{a_n}和數(shù)列{b_n}，a₁=1，a_n=a_n-1+2，b₁=2，b_n=3b_n-1+2
（1）求數(shù)列{a_n}和數(shù)列{b_n}的通項公式；
（2）求數(shù)列{a_nb_n}的前n項和S_n．

Answer 1

考點：數(shù)列的求和,數(shù)列遞推式

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由已知條件推導出數(shù)列{a_n}是首項為1公差為2的等差數(shù)列，從而得到a_n=1+（n-1）×2=2n-1．{b_n+1}是首項為3，公比為3的等比數(shù)列，從而得到b_n=3ⁿ-1．
（2）由（1）知a_nb_n=（2n-1）•3ⁿ-2n+1，由此利用分組求和法能求出結(jié)果．

解答： 解：（1）∵a₁=1，a_n=a_n-1+2，
∴數(shù)列{a_n}是首項為1公差為2的等差數(shù)列，
∴a_n=1+（n-1）×2=2n-1．
∵b₁=2，b_n=3b_n-1+2，
∴b_n+1=3（b_n-1+1），又b₁+1=3，
∴{b_n+1}是首項為3，公比為3的等比數(shù)列，
∴b_n+1=3ⁿ．∴bn=3n-1
（2）由（1）知a_nb_n=（2n-1）•3ⁿ-2n+1，
∴TT_n=1•3+3•3²+5•3³+…+（2n-1）•3ⁿ，①
3T_n=1•3²+3•3³+5•3⁴+…+（2n-1）•3ⁿ⁺¹，②
①-②，得：-2T_n=3+2（3²+3³+…+3ⁿ）-（2n-1）•3ⁿ⁺¹
=3+2×

9(1-3n-1)

1-3

-（2n-1）•3ⁿ⁺¹
=3+3ⁿ⁺¹-9-（2n-1）•3ⁿ⁺¹
=-（2n-2）•3ⁿ⁺¹-6，
∴T_n=（n-1）•3ⁿ⁺¹+3．
∴S_n=T_n-2×

n(n+1)

2

+n
=（n-1）•3ⁿ⁺¹-n²+3．

點評：本題考查數(shù)列的通項公式的求法，考查數(shù)列的前n項和的求法，解題時要認真審題，注意分組求和法的合理運用．