Question

已知函數(shù)f（x）=x²+2x+3，當(dāng)x∈[t，t+1]，f（x）≥t恒成立，求t的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：由題意可得t小于或等于f（x）在[t，t+1]上的最小值，分t≥-1、t＜-1＜t+1、t+1≤-1 三種情況，分別求得f（x）的最小值，從而求得t的范圍．

解答： 解：∵函數(shù)f（x）=x²+2x+3=（x+1）²+2，當(dāng)x∈[t，t+1]，f（x）≥t恒成立，
故t小于或等于f（x）在[t，t+1]上的最小值．
當(dāng)t≥-1時，f（x）在[t，t+1]上是增函數(shù)，最小值為f（t）=t²+2t+3，
由

t≥-1 t2+2t+3≥t

求得t≥-1．
當(dāng)t＜-1＜t+1時，f（x）的最小值為f（-1）=2，
由

t＜-1＜t+1 2≥t

，求得-2＜t＜-1．
當(dāng)t+1≤-1，f（x）在[t，t+1]上是減函數(shù)，f（x）的最小值為f（t+1）=t²+4t+6，
由

t+1≤-1 t2+4t+6≥t

，求得 t≤-2．
綜上可得t的范圍是R．

點(diǎn)評：本題主要考查求二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．