Question

數(shù)列{a_n}為等差數(shù)列，d≠0，若數(shù)列{a_n}中ak1，ak2，ak3，…，akn構(gòu)成等比數(shù)列，其中k₁=1，k₂=5，k₃=17．
（1）求k_n；
（2）求證：k₁+k₂+…+k_n=3ⁿ-n-1．

Answer 1

考點：等比數(shù)列的性質(zhì)

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）通過數(shù)列中k₁=1，k₂=5，k₃=17時成等比數(shù)列，求出a₁與d的關(guān)系，然后求出數(shù)列的公比，然后利用akn的值求出k_n；
（2）利用（1）的結(jié)果，利用分組求和法即可求出數(shù)列的和．

解答： 解：（1）設(shè)等比數(shù)列ak1，ak2，ak3，…，akn的公比為q，
∵k₁=1，k₂=5，k₃=17
∴a₁•a₁₇=a₅² ，
即a₁（a₁+16d）=（a₁+4d）²，
 得 a₁d=2d²
∵d≠0，
∴a₁=2d，q=

a5

a1

=3，
∵akn=a1+(kn-1)d=(kn+1)d，同時akn=ak1•qn-1=2d•3n-1，
∴k_n=2×3^n-1-1，n∈N*
（2）∵k_n=2×3^n-1-1，n≥1，
∴k₁+k₂+k₃+…+k_n=（2×3⁰-1）+（2×3¹-1）+…+（2×3^n-1-1）=

2(1-3n)

1-3

-n=3ⁿ-n-1．

點評：本題主要考查等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合應(yīng)用，數(shù)列的通項公式，前n項和的求法，利用分組求和法是解決本題的關(guān)鍵．