Question

已知函數(shù)f（x）=ln（x+a）-x²-x在x=0處取得極值．
（Ⅰ）求實數(shù)a的值；
（Ⅱ）若關(guān)于x的方程f（x）=-

5

2

x+b在區(qū)間[0，2]上恰有兩個不同的實數(shù)根，求實數(shù)b的取值范圍；
（Ⅲ）證明：對任意的正整數(shù)n，不等式2+

3

4

+

4

9

+…+

n+1

n2

＞ln（n+1）都成立．

Answer 1

考點：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：壓軸題,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（Ⅰ）函數(shù)f（x）=ln（x+a）-x²-x，對其進(jìn)行求導(dǎo)，在x=0處取得極值，可得f′（0）=0，求得a值；
（Ⅱ）關(guān)于x的方程f（x）=-

5

2

x+b在區(qū)間[0，2]上恰有兩個不同的實數(shù)根，將問題轉(zhuǎn)化為φ（x）=0，在區(qū)間[0，2]上恰有兩個不同的實數(shù)根，對φ（x）對進(jìn)行求導(dǎo)，從而求出b的范圍；
（Ⅲ）f（x）=ln（x+1）-x²-x的定義域為{x|x＞-1}，利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性，可以推出ln（x+1）-x²-x≤0，令x=

1

n

，可以得到ln（

1

n

+1）＜

1

n

+

1

n2

，利用此不等式進(jìn)行放縮證明；

解答： 解：（Ⅰ）函數(shù)f（x）=ln（x+a）-x²-x
f′（x）=

1

x+a

-2x-1              
當(dāng)x=0時，f（x）取得極值，
∴f′（0）=0                                    
故

1

0+a

-2×0-1=0，
解得a=1，經(jīng)檢驗a=1符合題意，
則實數(shù)a的值為1；
（Ⅱ）由a=1知f（x）=ln（x+1）-x²-x
由f（x）=-

5

2

x+b，得ln（x+1）-x²+

3

2

x-b=0
令φ（x）=ln（x+1）-x²+

3

2

x-b，
則f（x）=-

5

2

x+b在區(qū)間[0，2]上恰有兩個不同的實數(shù)根等價于φ（x）=0在區(qū)間[0，2]上恰有兩個不同的實數(shù)根．
φ′（x）=

1

x+1

-2x+

3

2

=

-(4x+5)(x-1)

2(x+1)

，
當(dāng)x∈[0，1]時，φ′（x）＞0，于是φ（x）在[0，1）上單調(diào)遞增；
當(dāng)x∈（1，2]時，φ′（x）＜0，于是φ（x）在（1，2]上單調(diào)遞減，
依題意有φ（0）=-b≤0，
φ（1）=ln（1+1）-1+

3

2

-b＞0，
φ（2）=ln（1+2）-4+3-b≤0
解得，ln3-1≤b＜ln2+

1

2

，
故實數(shù)b的取值范圍為：[ln3-1，ln2+

1

2

）；       
（Ⅲ）f（x）=ln（x+1）-x²-x的定義域為{x|x＞-1}，由（1）知f（x）=

-x(2x+3)

x+1

，
令f′（x）=0得，x=0或x=-

3

2

（舍去），
∴當(dāng)-1＜x＜0時，f′（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增；
當(dāng)x＞0時，f′（x）＜0，f（x）單調(diào)遞減．
∴f（0）為f（x）在（-1，+∞）上的最大值．
∴f（x）≤f（0），故ln（x+1）-x²-x≤0（當(dāng)且僅當(dāng)x=0時，等號成立）
對任意正整數(shù)n，取x=

1

n

＞0得，ln（

1

n

+1）＜

1

n

+

1

n2

∴l(xiāng)n（

n+1

n

）＜

n+1

n2

，
故2+

3

4

+

4

9

+…+

n+1

n2

＞ln2+ln

3

2

+ln

4

3

+…+ln

n+1

n

=ln（n+1）．

點評：本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值及單調(diào)性，解題過程中用到了分類討論的思想，分類討論的思想也是高考的一個重要思想，要注意體會其在解題中的運(yùn)用，第三問難度比較大，利用了前兩問的結(jié)論進(jìn)行證明，此題是一道中檔題．