Question

已知0＜a≤

1

3

，若f（x）=ax²-2x+1在區(qū)間[1，3]上的最大值為M（a），最小值為N（a），令g（a）=M（a）-N（a）．
（1）求函數(shù)g（a）的表達式；
（2）判斷函數(shù)g（a）的單調(diào)性（只需說明，不用證明），并求g（a）的最小值．

Answer 1

考點：二次函數(shù)的性質

專題：函數(shù)的性質及應用

分析：（1）首先判斷出函數(shù)f（x）=ax²-2x+1在區(qū)間[1，3]上為單調(diào)減函數(shù)，然后求出M（a）、N（a），進而求出g（a）的表達式即可；
（2）由一次函數(shù)的性質知，g（a）=-8a+4在區(qū)間（0，

1

3

]單調(diào)減，a為

1

3

時，g（a）取最小值，代入求解即可．

解答： 解：（1）函數(shù)f（x）=ax²-2x+1的對稱軸為x=

1

a

∵0＜a≤

1

3

∴

1

a

≥3
∴函數(shù)f（x）=ax²-2x+1在區(qū)間[1，3]上為單調(diào)減函數(shù)
∴M（a）=f（1）=a-1，N（a）=f（3）=9a-5
∵g（a）=M（a）-N（a）
∴g（a）=-8a+4(0＜a≤

1

3

)
（2）由一次函數(shù)的性質知，g（a）=-8a+4在區(qū)間（0，

1

3

]單調(diào)減，
∴a為

1

3

時，g（a）取最小值；
∵g（

1

3

）=-8×

1

3

+4=

4

3

，
函數(shù)g(a)min=g(

1

3

)=

4

3

．

點評：本題主要考查了二次函數(shù)的性質及其運用，考查了函數(shù)的表達式以及最值的求法，屬于中檔題．