Question

已知函數(shù)f（x）=ax³-

3

2

（a+2）x²+6x+b在x=2處取得極值．
（Ⅰ）求a的值及f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）若x∈[1，4]時，不等式f（x）＞b²恒成立，求b的取值范圍．

Answer 1

考點：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：計算題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（Ⅰ）求出導(dǎo)數(shù)，由題意得，f'（2）=0，求出a的值，再令導(dǎo)數(shù)大于0，得增區(qū)間，令導(dǎo)數(shù)小于0，得減區(qū)間；
（Ⅱ）x∈[1，4]時，不等式f（x）＞b²恒成立即為f（x）的最小值大于b²，在[1，4]上恒成立，只要求出最小值即可．

解答： 解：（Ⅰ）∵函數(shù)f（x）=ax³-

3

2

（a+2）x²+6x+b，
∴f'（x）=3ax²-3（a+2）x+6，
∴f'（2）=12a-6a-12+6=0，
∴a=1．
由f'（x）=3x²-9x+6＞0得x＞2或x＜1，
由f'（x）=3x²-9x+6＜0得1＜x＜2，
∴函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（-∞，1）、（2，+∞），單調(diào)減區(qū)間為（1，2）．
（Ⅱ）f(x)=x3-

9

2

x2+6x+b，
當(dāng)x∈[1，4]時，不等式f（x）＞b²恒成立，即有f（x）的最小值大于b²，
∵f（x）_min=f（2）=2+b，
∴2+b＞b²，-1＜b＜2，
∴b的取值范圍（-1，2）．

點評：本題考查導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用：求單調(diào)區(qū)間、求極值、求最值，考查不等式的恒成立問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問題，屬于中檔題．