Question

8．直線l：y=kx+1與圓O：x²+y²=1相交于A，B兩點，則“△OAB的面積為$\frac{1}{2}$”是“k=1”的（　�。�

• A． 充分而不必要條件
• B． 必要而不充分條件
• C． 充分必要條件
• D． 既不充分又不必要條件

Answer 1

分析 根據(jù)直線和圓相交的性質(zhì)，結(jié)合充分條件和必要條件的定義進行判斷即可得到結(jié)論．

解答 解：若直線l：y=kx+1與圓O：x²+y²=1相交于A，B 兩點，
則圓心到直線距離d=$\frac{1}{\sqrt{1{+k}^{2}}}$，|AB|=2 $\sqrt{1{-d}^{2}}$=2 $\sqrt{\frac{{k}^{2}}{1{+k}^{2}}}$，
若k=1，則|AB|=2$\sqrt{\frac{1}{2}}$=$\sqrt{2}$，d=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，則△OAB的面積為$\frac{1}{2}$×$\sqrt{2}$×$\frac{\sqrt{2}}{2}$=$\frac{1}{2}$成立，即必要性成立．
若△OAB的面積為$\frac{1}{2}$，則S=$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{\sqrt{1{+k}^{2}}}$×2 $\sqrt{\frac{{k}^{2}}{1{+k}^{2}}}$=$\frac{1}{2}$×2×$\frac{|k|}{1{+k}^{2}}$=$\frac{|k|}{1{+k}^{2}}$=$\frac{1}{2}$，
即k²+1=2|k|，即k²-2|k|+1=0，
則（|k|-1）²=0，
即|k|=1，
解得k=±1，則k=1不成立，即充分性不成立．
故“△OAB的面積為$\frac{1}{2}$”是“k=1”的必要不充分條件．
故選：B．

點評 本題主要考查充分條件和必要條件的判斷，利用三角形的面積公式，以及半徑半弦之間的關系是解決本題的關鍵．