Question

如圖，四邊形ABCD為正方形，四邊形BDEF為矩形，AB=2BF，DE⊥平面ABCD．
（1）求證：CF∥平面ADE；
（2）求二面角C-EF-B的余弦值．

Answer 1

考點(diǎn)：用空間向量求平面間的夾角,直線與平面平行的判定

專題：綜合題,空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（1）利用平面BCF中，有兩條相交直線BC和BF平行于兩一個(gè)平面中的兩條相交直線 AD 和DE，得到平面
BCF∥平面ADE．
（2）連接AC，與BD交于M，取EF的中點(diǎn)N，連接MN，CN，則CM⊥平面EFBD，∠CNM是二面角C-EF-B的平面角，即可得出結(jié)論．

解答： （1）證明：∵四邊形ABCD為正方形，四邊形BDEF為矩形，∴BC∥AD，BF∥DE，
這樣，平面BCF中，有兩條相交直線BC，BF平行于兩一個(gè)平面中的兩條相交直線AD，DE，
故有平面BCF∥平面ADE，
∴CF∥平面ADE．
（2）解：設(shè)BF=1，則AB=2，AC=2

2

，連接AC，與BD交于M，取EF的中點(diǎn)N，連接MN，CN，
則CM⊥平面EFBD，
∴∠CNM是二面角C-EF-B的平面角，

∵M(jìn)N=1，CM=

2

，
∴CN=

3

，
∴cos∠CNM=

MN

CN

=

3

3

，
即二面角C-EF-B的余弦值為

3

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查證明線面平行、面面平行的判定定理，考查二面角C-EF-B的余弦值，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．