Question

已知數(shù)列{a_n}的各項(xiàng)均為正數(shù)，S_n是{a_n}的前n項(xiàng)和，對(duì)于任意的n∈N^*，有2S_n=3a_n-3
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè){b_n}的通項(xiàng)公式b_n=

1

log3an•log3an+2

，{b_n}的前n項(xiàng)和為T(mén)_n，若?n∈N^*，a²-5a-

17

3

≤Tn恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,數(shù)列遞推式

專(zhuān)題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）當(dāng)n=1時(shí)，2a₁=2S₁=3a₁-3，解得a₁=3．當(dāng)n≥2時(shí)，2a_n=2（S_n-S_n-1），再利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式即可得出．
（2）b_n=

1

log3an•log3an+2

=

1

n(n+2)

=

1

2

(

1

n

-

1

n+2

)，利用“裂項(xiàng)求和”可得T_n=

1

2

(1+

1

2

-

1

n+1

-

1

n+2

)．利用其單調(diào)性可得T_n的最小值為T(mén)₁=

1

3

．?n∈N^*，a²-5a-

17

3

≤Tn恒成立??n∈N^*，a²-5a--

17

3

≤（T_n）_min=T₁，再利用一元二次不等式的解法即可得出．

解答： 解：（1）當(dāng)n=1時(shí)，2a₁=2S₁=3a₁-3，解得a₁=3．
當(dāng)n≥2時(shí)，2a_n=2（S_n-S_n-1）=3a_n-3-（3a_n-1-3），化為a_n=3a_n-1．
∴數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列，
∴an=a1qn-1=3ⁿ．
（2）b_n=

1

log3an•log3an+2

=

1

n(n+2)

=

1

2

(

1

n

-

1

n+2

)，
∴{b_n}的前n項(xiàng)和為T(mén)_n=

1

2

[(1-

1

3

)+(

1

2

-

1

4

)+(

1

3

-

1

5

)+…+(

1

n-1

-

1

n+1

)+(

1

n

-

1

n+2

)]
=

1

2

(1+

1

2

-

1

n+1

-

1

n+2

)．
由上式可知：T_n對(duì)于n∈N^*單調(diào)遞增，∴當(dāng)n=1時(shí)，T_n取得最小值，T₁=

1

3

．
∵?n∈N^*，a²-5a-

17

3

≤Tn恒成立??n∈N^*，a²-5a--

17

3

≤（T_n）_min=T₁=

1

3

，
∴a²-5a-6≤0，
解得-1≤a≤6．
∴a的取值范圍是[-1，6]．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了等比數(shù)列的通項(xiàng)公式、遞推式、“裂項(xiàng)求和”方法、恒成立問(wèn)題的等價(jià)轉(zhuǎn)化方法、一元二次不等式的解法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．