Question

【題目】已知函數(shù) .

(1)當(dāng)時(shí),討論的單調(diào)性；

(2)設(shè)，當(dāng)時(shí),若對(duì)任意,存在使,求實(shí)數(shù)取值.

Answer 1

【答案】（1）當(dāng)時(shí),函數(shù)在上單調(diào)遞減；函數(shù)在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí),函數(shù)在上單調(diào)遞減；

當(dāng)時(shí),函數(shù)在上單調(diào)遞減；函數(shù)在上單調(diào)遞增;函數(shù)在上單調(diào)遞減；（2）．

【解析】分析：（1）先求定義域，再對(duì)函數(shù)求導(dǎo)， ，

令 ，分，，，，四種情況考慮h(x)零點(diǎn)情況及正負(fù)情況，得函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間。

（2）因?yàn)?/span>,由于(I)知,在上的最小值為，

由題意可知“對(duì)任意,存在,使”等價(jià)于“在上的最小值不大于在上的最小值”，由一元二次函數(shù)的“三點(diǎn)一軸”分類(lèi)討論求得g(x)的最小值，再求得b范圍。

詳解：(1)定義域

因?yàn)?/span>

所以

令

(i)當(dāng)時(shí),

所以當(dāng)時(shí), ,此時(shí),函數(shù)單調(diào)遞增;

當(dāng)時(shí), ,此時(shí),函數(shù)單調(diào)遞增

(ii)當(dāng)時(shí),由,

即,解得

①當(dāng)時(shí), ，恒成立,此時(shí),函數(shù)在上單調(diào)遞減;

②當(dāng)時(shí),

時(shí), ,此時(shí),函數(shù)單調(diào)遞減；

時(shí), ,此時(shí),函數(shù)單調(diào)遞增；

時(shí), ,此時(shí),函數(shù)單調(diào)遞減；

③當(dāng)時(shí),由于

時(shí), ,此時(shí),函數(shù)單調(diào)遞減；

時(shí), ,此時(shí),函數(shù)單調(diào)遞增；

綜上所述:

當(dāng)時(shí),函數(shù)在上單調(diào)遞減；

函數(shù)在上單調(diào)遞增；

當(dāng)時(shí),函數(shù)在上單調(diào)遞減；

當(dāng)時(shí),函數(shù)在上單調(diào)遞減；

函數(shù)在上單調(diào)遞增;

函數(shù)在上單調(diào)遞減

(2)因?yàn)?/span>,由于(I)知, ,當(dāng)時(shí), ,

函數(shù)單調(diào)遞減:當(dāng)時(shí), ,函數(shù)單調(diào)遞增,所以在上的最小值為

由于“對(duì)任意,存在,使”等價(jià)于“在上的最小值不大于在上的最小值”

又,,所以

①當(dāng)時(shí),因?yàn)?/span> ,此時(shí)與矛盾

②當(dāng)時(shí),因?yàn)?/span>,同樣與矛盾

③當(dāng)時(shí),因?yàn)?/span>，解不等式

可得

綜上, 的取值范圍是．