Question

已知平面向量

a

=（-

3

，1），

b

=（

1

2

，

3

2

），

c

=-

1

4

a

+m

b

，

d

=cos²x

a

+sinx

b

，f（x）=

c

•

d

，x∈R．
（1）當(dāng)m=2時(shí)，求y=f（x）的取值范圍； 
（2）設(shè)g（x）=f（x）-m²+2m+5，是否存在實(shí)數(shù)m，使得y=g（x）有最大值2，若存在，求出所有滿足條件的m值，若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：平面向量數(shù)量積的運(yùn)算,兩角和與差的正弦函數(shù),正弦函數(shù)的定義域和值域

專題：平面向量及應(yīng)用

分析：（1）當(dāng)m=2時(shí)，求出

c

和

d

的坐標(biāo)，可得函數(shù)y=f（x）=

c

•

d

=2-（sinx-1）²，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)求得函數(shù)的值域．
（2）根據(jù)

c

和

d

的坐標(biāo)，求得函數(shù)y=f（x）=

c

•

d

=cos²x+msinx，可得g（x）的解析式．令sinx=t，則-1≤t≤1，g（x）=h（t）=-t²+mt-m²+2m+6，函數(shù)h（t）的對(duì)稱軸為 t=

m

2

，再分當(dāng)

m

2

＜0時(shí)和當(dāng)m≥0時(shí)兩種情況，分別利用二次函數(shù)的單調(diào)性以及g（x）有最大值2，求得m的值，從而得出結(jié)論．

解答： 解：（1）當(dāng)m=2時(shí)，

c

=-

1

4

a

+2

b

=（-

3

4

+1，

1

4

+

3

），

d

=cos²x

a

+sinx

b

=（

1

2

sinx-

3

cos²x，

3

2

sinx+cos²x ），
函數(shù)y=f（x）=

c

•

d

=（-

3

4

+1）•（

1

2

sinx-

3

cos²x ）+（

1

4

+

3

）•（

3

2

sinx+cos²x ）
=cos²x+2sinx=1-sin²x+2sinx=2-（sinx-1）²，
故當(dāng)sinx=1時(shí)，函數(shù)y取得最大值為2，當(dāng)sinx=-1時(shí)，函數(shù)y取得最小值為-2，
故函數(shù)的值域?yàn)閇-2，2]．
（2）∵

c

=-

1

4

a

+m

b

=（-

3

4

+

m

2

，

1

4

+

m 3

2

），

d

=cos²x

a

+sinx

b

=（

1

2

sinx-

3

cos²x，

3

2

sinx+cos²x ），
函數(shù)y=f（x）=

c

•

d

=（-

3

4

+

m

2

）•（

1

2

sinx-

3

cos²x ）+（

1

4

+

m 3

2

）•（

3

2

sinx+cos²x ）
=cos²x+msinx，
∴g（x）=f（x）-m²+2m+5=cos²x+msinx-m²+2m+5=1-sin²x+msinx-m²+2m+5 
=-sin²x+msinx-m²+2m+6．
令sinx=t，則-1≤t≤1，g（x）=h（t）=-t²+mt-m²+2m+6，函數(shù)h（t）的對(duì)稱軸為 t=

m

2

，
當(dāng)

m

2

＜0時(shí)，h（t）的最大值為h（1）=-1+m-m²+2m+6=2，求得m=

3- 21

2

．
當(dāng)m≥0時(shí)，h（t）的最大值為h（-1）=-1-m-m²+2m+6=2，求得m=

1+ 13

2

．
綜上可得，存在實(shí)數(shù)m=

3- 21

2

 或m=

1+ 13

2

，使得y=g（x）有最大值2．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查兩個(gè)向量的數(shù)量積的運(yùn)算，二次函數(shù)的性質(zhì)，求函數(shù)的最值，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化、分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．