已知圓過定點(diǎn)，圓心在拋物線上，、為圓與軸的交點(diǎn)．
（1）當(dāng)圓心是拋物線的頂點(diǎn)時(shí)，求拋物線準(zhǔn)線被該圓截得的弦長．
（2）當(dāng)圓心在拋物線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，是否為一定值？請(qǐng)證明你的結(jié)論．
（3）當(dāng)圓心在拋物線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，記，，求的最大值，并求出此時(shí)圓的方程．
（1）；（2）是定值，為2；（3）取得最大值，此時(shí)圓的方程為．

試題分析：（1）這是關(guān)于圓的基本計(jì)算問題，圓心是拋物線的頂點(diǎn)，又圓過點(diǎn)，可得圓半徑為，就得出了圓的方程，拋物線的準(zhǔn)線為，與圓相交弦長可用直角三角形法求解，弦心距，弦的一半，相應(yīng)半徑可構(gòu)成一個(gè)直角三角形，應(yīng)用勾股定理易得；（2）圓心在拋物線上運(yùn)動(dòng)，可設(shè)圓心坐標(biāo)為，與（1）同法可得弦長，當(dāng)然本題中弦在軸上，故可在圓方程中令，求出，也即求出為定值；（3）根據(jù)圓的性質(zhì)，由（2）可得兩點(diǎn)的坐標(biāo)為，這樣就可用來表示，可求得，時(shí)，有，時(shí)，利用基本不等式有，從而（當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立），故所求最大值為．
試題解析：（1）拋物線的頂點(diǎn)為，準(zhǔn)線方程為，圓的半徑等于1，圓的方程為．弦長         4分
（2）設(shè)圓心，則圓的半徑，
圓的方程是為：    6分
令，得，得，，
是定值．      8分
（3）由（2）知，不妨設(shè)，，，．
．      11分
當(dāng)時(shí)，．      12分
當(dāng)時(shí)，．
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立          14分
所以當(dāng)時(shí)，取得最大值，此時(shí)圓的方程為．
16分
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

在平面直角坐標(biāo)系中，已知分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，橢圓與拋物線有一個(gè)公共的焦點(diǎn)，且過點(diǎn).

(Ⅰ)求橢圓的方程;
(Ⅱ)設(shè)點(diǎn)是橢圓在第一象限上的任一點(diǎn),連接,過點(diǎn)作斜率為的直線,使得與橢圓有且只有一個(gè)公共點(diǎn),設(shè)直線的斜率分別為,,試證明為定值,并求出這個(gè)定值；
（III）在第(Ⅱ)問的條件下，作，設(shè)交于點(diǎn)，
證明:當(dāng)點(diǎn)在橢圓上移動(dòng)時(shí)，點(diǎn)在某定直線上.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)及直線，曲線是滿足下列兩個(gè)條件的動(dòng)點(diǎn)的軌跡：①其中是到直線的距離；②
(1) 求曲線的方程;
(2) 若存在直線與曲線、橢圓均相切于同一點(diǎn)，求橢圓離心率的取值范圍.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，且，長軸的一個(gè)端點(diǎn)與短軸兩個(gè)端點(diǎn)組成等邊三角形的三個(gè)頂點(diǎn)．
(1)求橢圓方程；
(2)設(shè)橢圓與直線相交于不同的兩點(diǎn)M、N，又點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍，

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

已知橢圓C：的離心率與等軸雙曲線的離心率互為倒數(shù)，直線與以原點(diǎn)為圓心，以橢圓C的短半軸長為半徑的圓相切。
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）設(shè)M是橢圓的上頂點(diǎn)，過點(diǎn)M分別作直線MA,MB交橢圓于A,B兩點(diǎn)，設(shè)兩直線的斜率分別為k1,k2,且k1＋k2＝2，證明：直線AB過定點(diǎn)(―1,―1)

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

已知橢圓:的離心率為，過橢圓右焦點(diǎn)的直線與橢圓交于點(diǎn)（點(diǎn)在第一象限）.
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）已知為橢圓的左頂點(diǎn)，平行于的直線與橢圓相交于兩點(diǎn).判斷直線是否關(guān)于直線對(duì)稱，并說明理由.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

設(shè)橢圓的左、右頂點(diǎn)分別為、，離心率．過該橢圓上任一點(diǎn)P作PQ⊥x軸，垂足為Q，點(diǎn)C在QP的延長線上，且.
（1）求橢圓的方程；
（2）求動(dòng)點(diǎn)C的軌跡E的方程；
（3）設(shè)直線MN過橢圓的右焦點(diǎn)與橢圓相交于M、N兩點(diǎn)，且，求直線MN的方程.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

已知、分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，右焦點(diǎn)到上頂點(diǎn)的距離為2，若
（Ⅰ）求此橢圓的方程；
（Ⅱ）直線與橢圓交于兩點(diǎn)，若弦的中點(diǎn)為，求直線的方程.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：填空題

直線與曲線的交點(diǎn)個(gè)數(shù)是      ．

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊(cè)答案