已知數(shù)列{an}滿足，，.
（1）求證：數(shù)列為等比數(shù)列；
（2）是否存在互不相等的正整數(shù)、、，使、、成等差數(shù)列，且、、 成等比數(shù)列？如果存在，求出所有符合條件的、、；如果不存在，請說明理由.

（1）詳見解析；（2）詳見解析

解析試題分析：（1）先利用倒數(shù)法得到，再結(jié)合待定系數(shù)法得到，從而證明數(shù)列為等比數(shù)列；（2）在（1）的條件下求出數(shù)列的通項公式，假設(shè)相應(yīng)的正整數(shù)、、滿足題中條件，并列出相應(yīng)的等式組并進(jìn)行化簡，利用基本不等式得出矛盾，從而說明符合題中條件的正整數(shù)、、不存在.
試題解析：（1）因為，所以. 所以.
因為，則.
所以數(shù)列是首項為，公比為的等比數(shù)列；
（2）由（1）知，，所以.
假設(shè)存在互不相等的正整數(shù)、、滿足條件，
則有，
由與，
得.
即.
因為，所以.
因為，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，
這與、、互不相等矛盾．
所以不存在互不相等的正整數(shù)、、滿足條件.
考點：1.倒數(shù)法求數(shù)列通項；2.待定系數(shù)法求數(shù)列通項；3.基本不等式

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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知數(shù)列的前三項分別為，，，（其中為正常數(shù)）。設(shè)。
（1）歸納出數(shù)列的通項公式，并證明數(shù)列不可能為等比數(shù)列；
（2）若=1，求的值；
（3）若=4，試證明：當(dāng)時，．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

觀察下列三角形數(shù)表，假設(shè)第n行的第二個數(shù)為an(n≥2，n∈N*)．

(1)依次寫出第六行的所有6個數(shù)；
(2)歸納出an＋1與an的關(guān)系式并求出{an}的通項公式．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知數(shù)列的通項，.
（Ⅰ）求；
（Ⅱ）判斷數(shù)列的增減性,并說明理由；
（Ⅲ）設(shè)，求數(shù)列的最大項和最小項.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知曲線，過上一點作一斜率為的直線交曲線于另一點（且，點列的橫坐標(biāo)構(gòu)成數(shù)列，其中.
（1）求與的關(guān)系式；
（2）令，求證：數(shù)列是等比數(shù)列；
（3）若（為非零整數(shù)，），試確定的值，使得對任意，都有成立.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

設(shè)數(shù)列的前項和滿足,其中.
⑴若,求及;
⑵若,求證:,并給出等號成立的充要條件.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

設(shè)等差數(shù)列的前項和為，滿足：．遞增的等比數(shù)列前項和為，滿足：．
（Ⅰ）求數(shù)列，的通項公式；
（Ⅱ）設(shè)數(shù)列對，均有成立，求．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知{an}是等差數(shù)列，a1=3，Sn是其前n項和，在各項均為正數(shù)的等比數(shù)列{bn}中，b1=1,且b2＋S2=10，S5 =5b3＋3a2.
(I )求數(shù)列{an}, {bn}的通項公式；
(II)設(shè)，數(shù)列{cn}的前n項和為Tn,求證

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知數(shù)列的前項和，滿足：.
（Ⅰ）求數(shù)列的通項；
（Ⅱ）若數(shù)列的滿足，為數(shù)列的前項和，求證：.

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